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【定理概述】
【求逆元】
逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。ax≡1(mod p)。
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯一存在 。
方法1：费马小定理求逆元，p是质数，且gcd(a,p)=1
在模为素数p的情况下，有费马小定理
ap-1 ≡ 1（mod p）
则a * ap-2 ≡ 1（mod p）
所以a的逆元就是ap-2，用快速幂求即可。
#include<iostream> using namespace std; long long gcd(long long a, long long b){ if(b == 0) return a; return gcd(b , a%b); } long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){ long long ans = 1; //如果n的二进制最后一位是1 结果参与运算 //因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响 while(n > 0){ if(n & 1) ans = (ans* a) % mod; a = (a*a) % mod;//底数加倍 n >>= 1;//移位 } return ans; } // long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和 模数不互质则必然不存在逆元 if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod); } int main(){ long long a,b; int x,y; while(cin>>a>>b){ cout<<invEle(a,b)<<endl; } }
方法2：扩展欧几里得（高效）
typedef long long ll; void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){ if(!b){ d=a; x=1; y=0;} else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } } ll inverse(ll a,ll n){ ll d,x,y; extgcd(a,n,d,x,y); return d==1?(x+n)%n:-1; }
方法3：欧拉定理求逆元（很少用到）
模p不是素数的时候需要用到欧拉定理
逆元打表：
typedef long long ll; const int N = 1e5 + 5; int inv[N]; void inverse(int n, int p) { inv[1] = 1; for (int i=2; i<=n; ++i) { inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p; } }
【解方程组】
根据定理概述以及解法，得到以下方法
int CRT(int a[],int m[],int n) { int M = 1; int ans = 0; for(int i=1; i<=n; i++) M *= m[i]; for(int i=1; i<=n; i++) { int x, y; int Mi = M / m[i]; extend_Euclid(Mi, m[i], x, y); ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M; } if(ans < 0) ans += M; return ans; }
【扩展中国剩余定理】
当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？
摘自博客:https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018
这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程
那么得到
在利用扩展欧几里得算法解出
得到
这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1005; LL a[N], m[N]; LL gcd(LL a,LL b) { return b? gcd(b, a % b) : a; } void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } extend_Euclid(b, a % b, x, y); LL tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y; } LL Inv(LL a, LL b) { LL d = gcd(a, b); if(d != 1) return -1; LL x, y; extend_Euclid(a, b, x, y); return (x % b + b) % b; } bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3) { LL d = gcd(m1, m2); LL c = a2 - a1; if(c % d) return false; c = (c % m2 + m2) % m2; m1 /= d; m2 /= d; c /= d; c *= Inv(m1, m2); c %= m2; c *= m1 * d; c += a1; m3 = m1 * m2 * d; a3 = (c % m3 + m3) % m3; return true; } LL CRT(LL a[], LL m[], int n) { LL a1 = a[1]; LL m1 = m[1]; for(int i=2; i<=n; i++) { LL a2 = a[i]; LL m2 = m[i]; LL m3, a3; if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3)) return -1; a1 = a3; m1 = m3; } return (a1 % m1 + m1) % m1; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]); LL ans = CRT(a, m, n); printf("%I64d\n",ans); } return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/czsharecode/p/9736807.html
