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标签：数学方法——数论
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这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。
欧拉函数写做\(\varphi[x]\)，表示\(0\)到\(x\)中与\(x\)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数\(p\)）：
\[\left\{
\begin{aligned}
\varphi[p]=p-1\ --------------①\\varphi[i*p]=p*\varphi[i]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i\bmod p==0)---②\\varphi[i*p]=(p-1)*\varphi[i]\ \ \ \ \ (i\bmod p\ne0)---③
\end{aligned}
\right.\]
据说还有一个总的公式：\(\varphi[n]=n*\prod(1-\dfrac{1}{a_i})\) (\(a_i\)是\(n\)的质因子)
于是我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。
笑哭.\(jpg\)
（去掉和\(phi\)数组有关的就是线性筛素数了）
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}有了欧拉函数做坚实的后盾
讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当\(a,n\)互质时\[
a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod\ n)
\]不知道怎么用对吧，那这样：
如果\(a,n\)互质，那么有 \(\ a^{\varphi(n)}\%n==1\)
也就是 $ a^{\varphi(n)}$ 与 \(n\) 互质
最有用的？ \(a^b\equiv a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\)
PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作降幂，后面讲
嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面\(a,n\)不互质了
\[a^b\equiv \left\{
\begin{aligned}
a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\a^{b\%\varphi(n)+varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ b\geq\varphi(n)
\end{aligned}
\right.\]
根据上面两个定理的公式结合起来
\[a^b\equiv \left\{
\begin{aligned}
a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n)
\end{aligned}
\right.\]其实我们完全可以不用用到第一个
思考一下
是不是对于一个问题求\(a^b (\bmod\ n)\)
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
\(yep\)降幂成功
给个例题吧：洛谷P4139 上帝与集合的正确用法
代码你要吗？不要我也给你，虽然丑
#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
}
int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
lst ret=1;
while(y)
{
if(y&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
if(mod==1)return 0;
return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}
int main()
{
Prepare_Phi();
Q=read();
while(Q--)
{
int p=read();
printf("%lld\n",Solve(p));
}
return 0;
}
那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。
毕竟我是个菜鸡嘛
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cjoierljl/p/9741028.html
