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1、直接给出；
如函数在区间\([a，b]\)单调递增；
2、以定义式给出；
如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D，x_1<x_2，f(x_1)<f(x_2)\)，
则意味着函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；
3、以定义的变形形式给出；
如单调递增以积式的形式给出：
如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D，(x_1-x_2)\cdot(f(x_1)-f(x_2))<0\)
则意味着函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递减；
4、以定义的变形形式给出；
如单调递增以商式的形式给出：
如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D，\cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)
则意味着函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；
5、以“单调+奇偶”的综合形式给出；
如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足：\(\cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0\)，且函数\(f(x)\)为奇函数，
则可知\(-f(-x_2)=f(x_2)\)，代换得到\(\cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0\)，
再令\(-x_2=x_3\)，即\(\cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0\)，
即函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；
6、 以图像的形式给出；(给出\(f(x)\)图像或者\(f'(x)\)的图像，要会读斜率)
比如给出\(f(x)\)图像，需要会解读图像，给出\(f'(x)\)的图像，要会通过\(f'(x)\)的正负解读单调性；
7、函数单调性的性质应用；
结论①：函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，则\(f(x)+g(x)\)为增(减)函数；
注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。
结论②：已知函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，同时又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（减）函数；
已知函数\(f(x)、g(x)\)是增（减）函数，同时又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是减（增）函数；
8、以复合函数的形式给出单调性；
\(\fbox{例1}\)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题)
若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】
A、\([3，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((0，1)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((1，3]\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((1，3)\)
分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域。
由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，
再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，
结合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故选D。
9、以分段函数的形式给出单调性
\(\fbox{例0}\)(已知分段函数的单调性，求参数的取值范围)
已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。
分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 \\ &a>1 \\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}\end{cases}\)；
即就是\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)
解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；
10、以赋值法的形式给出单调性；
如定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(x >0\)时，\(f(x)<0\)，判定函数单调性。
分析：令\(x_1> x_2\)，则\(x_1-x_2>0\)，故\(f(x_1-x_2)<0\)，
则有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，
故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减。
11、以导数的形式给出，
如函数在区间\([a，b]\)满足\(f'(x)\ge0\)(只在有限个点处使得\(f'(x)=0\))
12、以积函数的形式给出，
如\((x-1) \cdot f'(x)>0\)，则可知\(\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{f'(x)>0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x-1<0}\\{f'(x)<0}\end{array}\right.\)
即可知，当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，即函数\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增；
当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，即函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减；
同理可以理解表达式\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)。
13、以导函数的整体或部分形式给出(更难些)，
比如题目给出当\(x>0\)时满足条件\(xf'(x)-f(x)<0\)，则是告诉我们需要构造新函数，同时能知道新函数的单调性；
分析：构造\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，则当\(x>0\)时，
则\(g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0\)，
即新函数\(g(x)\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减。
【引例01】\(f(x)\)是偶函数，当\(x\in(-\infty，0)\)时，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，比较\(2f(2)，3f(3)，5f(5)\)的大小。
分析：构造\(g(x)=x\cdot f(x)\)，\(g(x)\)为奇函数，当\(x\in(-\infty，0)\)时，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，则\(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0\)，故由单调和奇偶性可知\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减。大小比较就容易了。
【引例02】已知函数\(f(x)=x^3-2ax+1\)在区间\([2，5]\)上\(\underline{单调递增}\)，求参数\(a\)的取值范围。
分析：\(f'(x)\ge 0\)在区间\([2，5]\)上恒成立，
即\(3x^2-2a\ge 0\)在区间\([2，5]\)上恒成立，
分离参数得到，\(2a\leq 3x^2\)在区间\([2，5]\)上恒成立，
即\(2a\leq [3x^2]_{min}=12\)，
即\(a\leq 6\)。
\(\fbox{例3}\)(构造函数+大小比较)
(2017\(\cdot\)河南平顶山一模)已知\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的函数，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，记\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，则（）
A.\(a<b<c\) \(\hspace{2cm}\) B.\(b<a<c\) \(\hspace{2cm}\) A.\(c<a<b\) \(\hspace{2cm}\) A.\(c<b<a\)
分析：注意到\(a，b，c\)的结构，由题目猜想：要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，那么是否正确，以下做以验证。
令\(0<x_1<x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，
故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)这三个的大小关系，只需要比较自变量的大小就可以了；
由于\(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=\sqrt{3}<2\)，\(0<0.3^2=0.09<1\)，\(log_25>log_24=2\)，
故\(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25)\)，即\(b<a<c\)。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7674301.html
