函数的周期性

一、函数周期性

• 理解概念中的关键词，知道有些函数如\(f(x)=2^x\)不是周期函数，有些函数仅有正周期如\(f(x)=sinx，x\in[0，+\infty)\)或者仅有负周期；

• 常函数\(f(x)=c(c为常数)\)没有最小正周期，如\(f(x)=c\)，则\(f(x+T)=c\)，此时的\(T\)没有最小的正数。

二、函数周期性的给出方式：

1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出周期\(T\)。

2、以周期的定义式给出；

比如\(f(x+4)=f(x)\Longrightarrow T=4\)

或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\)

3、以周期性的结论给出；

比如给出：\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

\(\hspace{2em}\) 推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)

\(\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\)

\(\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)\)

\(\Longrightarrow T=2a\)

比如给出：\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

\(\hspace{2em}\)推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)

\(=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)\)

\(\Longrightarrow T=2a\)

比如给出： \(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);

\(\hspace{2em}\)推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)

\(=\cfrac{k}{f(x+a)}\)

\(=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\)

\(\Longrightarrow T=2a\)

4、以三个连续自变量的形式给出

\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)

\(\hspace{2em}\) 推导过程：

由已知\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①\)，

用\(x+1\)代换\(x\)，得到由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②\)，

①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，

即\(f(x+3)=-f(x)\)，

故周期为\(T=6\)，

或者\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)

5、以赋值法的模式给出

\(f(x+6)=f(x)+f(3)\)再加上\(f(x)\)的奇偶性\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)

\(f(x+6)=f(x)+nf(3)(n\in N^*)\)再加上\(f(x)\)的奇偶性\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)

提示：用到赋值法，令\(x=-3\)，则有\(f(-3+6)=f(-3)+f(3)\)

再由奇偶性推出\(f(3)=0\)，

从而\(f(x+6)=f(x)\)，

故\(T=6\)。

同理，\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)可以推出周期\(T=4\)。

6、以赋值法[更难]的模式给出

引例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，

求\(f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2016)\)的值。

分析：令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；

再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；

又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，令\(y=1\)，

则有\(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)\)，

即就是\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①\)，

由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②\)，

①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，

即\(f(x+3)=-f(x)\)，

故周期为\(T=6\)，

7、以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；

比如对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\Bigg\}\)

\(\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\)

\(\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

8、以综合表达式的形式给出；

比如给出\(f(x+2)=\cfrac{1}{2}f(x)\)，意味着周期性和伸缩性同时起作用。