函数的对称性

一、函数的对称性的给出方式：

1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。

2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；

比如奇函数，\(f(-x)=-f(x)\)或者\(f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow\) 对称中心为\((0，0)\)

比如偶函数，\(f(-x)=f(x)\)或者\(f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow\) 对称轴为\(x=0\)

3、以奇偶性的拓展形式给出；

比如\(f(2+x)+f(-x)=2\)，则对称中心为\((1，1)\)；

比如\(f(x)=f(4-x)\)，则对称轴为\(x=2\)

为什么？

4、以周期性+奇偶性的形式给出；

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\big\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

二、函数对称性应用典例

\(\fbox{例1}\)(2016高考理科数学全国卷2第12题)(共用对称中心)
已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(-x)=2-f(x)\)，若函数\(y=\cfrac{x+1}{x}\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_m，y_m)\)，则\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}\)的值为【】

A、\(0\) \(\hspace{2cm}\) B、\(m\) \(\hspace{2cm}\) C、\(2m\) \(\hspace{2cm}\) D、 \(4m\)

分析：由题目可知\(f(x)+f(-x)=2\)，即函数\(f(x)\)图像关于点\((0，1)\)对称，

而函数\(y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}\)图像也关于点\((0，1)\)对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0\)，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是\(\cfrac{m}{2}\)个，他们中的每一对满足\(\cfrac{y_1+y_m}{2}=1\)，

即\(y_1+y_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m\)，

故\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m\)，故选B。

\(\fbox{例2}\)(2016高考文科数学全国卷2第12题)(共用对称轴)
已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，若函数\(y=|x^2-2x-3|\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_m，y_m)\)，则\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值为【】

A、\(0\) \(\hspace{2cm}\) B、\(m\) \(\hspace{2cm}\) C、\(2m\) \(\hspace{2cm}\) D、 \(4m\)

分析：函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，则函数的对称轴是直线\(x=1\)，

而函数\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的对称轴也是直线\(x=1\)，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数\(m\)一定是偶数个，两两配对的个数为\(\cfrac{m}{2}\)，比如AB配对，

则有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故选B。

【2017全国卷1文科第9题高考真题】

已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，则

A、\(f(x)\)在\((0，2)\)单调递增 \(\hspace{5cm}\) B、\(f(x)\)在\((0，2)\)单调递减 \(\hspace{2cm}\)

C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称 \(\hspace{2cm}\) D、\(y=f(x)\)的图像关于点\((1，0)\)对称

分析：由于函数\(f(x)\)是复合函数，定义域要使\(x>0，2-x>0\)，即定义域是\((0，2)\)，

又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，则由复合函数的单调性法则可知，

在\((0，1)\)上单增，在\((1，2)\)上单减，故排除A，B；

若函数\(y=f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；

若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)=f(2-x)\)；

接下来我们用上述的结论来验证，由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即满足\(f(x)=f(2-x)\)，

故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，选C；

再来验证D，发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，D选项不满足。

故选C。