标签：rac red sqrt alt 逻辑 .com gif https 构造
1、直接给出；
如函数\(f(x)\)在某区间\(D\)上是奇函数。
2、以定义式给出；
如\(\forall x \in D，f(-x)= - f(x)\)，则它是奇函数。如函数\(f(x)=x^3\)，
3、定义的变形式给出；
如\(\forall x \in D，f(-x)+ f(x)=0\)，\(\cfrac{f(-x)}{f(x)}=\pm 1(f(x)\neq0)\).
【应用①】
比如函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，
则可知\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
那么函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1\)呢?
同理可得，\(f(x)+f(-x)=2\)，
即函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。
【应用②】
比如函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，
则可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，
即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
4、以图像的形式给出；
比如某函数图像关于原点对称，某函数图像关于\(y\)轴对称。
5、以奇偶性的性质应用的结论形式给出；
在公共定义域上，以下结论是成立的，也是可以证明的；
\(“奇+奇”\)是奇，
如\(f(x)=x+sinx\)；\(g(x)=x^3+2sinx\)；\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}\)；\(h(x)=2x+\cfrac{3}{x}\)；
\(“奇-奇”\)是奇，
如\(f(x)=x^3-sinx\)；\(h(x)=x-\cfrac{2}{x}\)；
\(“奇\cdot奇”\)是偶，
如\(f(x)=x\cdot sinx\)；\(f(x)=x^3sinx\)；
\(“奇÷奇”\)是偶；
如\(f(x)=\cfrac{sinx}{x}\)；
\(“偶+偶”\)是偶，\(“偶-偶”\)是偶；
\(“偶\cdot 偶”\)是偶，\(“偶÷偶”\)是偶；
\(“奇\cdot偶”\)是奇，\(“奇÷偶”\)是奇；
如\(f(x)\)为偶函数，则可知函数\(g(x)=xf(x)\)为奇函数。
如\(f(x)=e^x+\cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x}\)，偶函数；
如\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{e^x}=e^x-e^{-x}\)，奇函数；
6、以图像变换为依托给出，
如\(f(x-1)\)的对称轴是\(x=1\)，则可知\(f(x)\)的对称轴是\(y\)轴，即\(f(x)\)是偶函数；
7、以周期性和对称性结合给出奇偶性；
已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，则可推知函数\(f(x)\)为偶函数。
具体变形如下：
由\(f(x+2)=f(x)\)和\(f(2+x)=f(-x)\)，
得到\(f(-x)=f(x)\)，
故函数\(f(x)\)为偶函数。
8、以结合赋值法给出；
已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，则可推知函数\(f(x)\)为偶函数。
具体变形如下：
令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0\)或\(f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，得到\(f(0)=1\)[\(f(0)=0\)舍去]；
再令\(x=0\)，则得到\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，
所以\(f(-y)=f(y)\)，可知函数是偶函数。
9、以构造函数的形式给出或者得到奇偶性【难度大】；
具体例题请参见：例2
1、二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\) 为偶函数的充要条件是\(b=0\) ，
证明：对称轴为\(x=-\cfrac{b}{2a}\)，
充分性：由\(b=0\)，得到对称轴为\(x=0\)，即就是\(y\)轴。
必要性：由函数为偶函数，对称轴是\(x=-\cfrac{b}{2a}\)， 得到\(b=0\)。
由此推广得到以下结论：
2、多项式函数\(y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为奇函数的充要条件是\(a=c=e=0\)
说明： \(f(-x)+f(x)=0\)恒成立，
即\([a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e]+(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\)
\(=2ax^4+2cx^2+2e=0\)，
即\(ax^4+cx^2+e=0\)对\(\forall x\in R\)都成立，故\(a=c=e=0\)。
比如，已知函数\(f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax\)为奇函数，则\(a=1\)；
3、多项式函数\(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为偶函数的充要条件是\(b=d=0\)
仿上例可说明。
4、奇函数的导函数为偶函数；
文科：举例说明，比如函数\(f(x)=sinx\)为奇函数，其导函数为\(f'(x)=cosx\)为偶函数；
理科：逻辑证明，设函数\(f(x)\)为奇函数，其导函数\(f'(x)\)，
记\(f'(x)=g(x)\)，由函数\(f(x)\)为奇函数，
则有\(f(-x)+f(x)=0\)，对其两边求导得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，即\(-g(-x)+g(x)=0\)，
即\(g(-x)=g(x)\)，
即函数\(g(x)\)为偶函数；
5、偶函数的导函数为奇函数；
文科：举例说明，比如函数\(f(x)=cosx\)为偶函数，其导函数为\(f'(x)=-sinx\)为奇函数；
理科：逻辑证明，设函数\(f(x)\)为偶函数，其导函数为\(f'(x)\)，
记\(f'(x)=g(x)\)，由函数\(f(x)\)为偶函数，
则有\(f(-x)-f(x)=0\)，对其两边求导得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，即\(-g(-x)-g(x)=0\)，
即\(g(-x)=-g(x)\)，
即函数\(g(x)\)为奇函数；
6、若函数为奇函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值相等。
文科：如\(f(x)=x^3\)，则\(f'(x)=3x^2\)，故\(f'(-1)=f'(1)=3\)；
理科：如函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(x)=0\)，则给两边求导得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，则有\(f'(x_0)-f'(-x_0)=0\)
引申：对称性，若函数\(f(x)+f(2-x)=2\)，则函数\(f(x)\)关于点\((1，1)\)对称，
且\(f'(x_0)=f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=f'(2)\)；
7、若函数为偶函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值互为相反数。
文科：如\(f(x)=x^2\)，则\(f'(x)=2x\)，故\(f'(-1)=-2，f'(1)=2\)；
理科：如函数\(f(x)\)满足\(f(-x)-f(x)=0\)，则给两边求导得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，则有\(f'(x_0)+f'(-x_0)=0\)
引申：对称性，若函数\(f(x)=f(2-x)\)，则函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，
且\(f'(x_0)=-f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=-f'(2)\)；
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