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矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
1 while(N)
2 {
3 if(N&1)
4 res=res*A;
5 n>>=1;
6 A=A*A;
7 }
里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。
第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。
poj 3070 矩阵加速求斐波那契数列代码：
#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> #include <memory.h> using namespace std; int n = 2, m; int s[2][2]={{1, 1}, {1, 0}}; struct matrix { int r, c; int mat[3][3]; } res, origin; void init() { memset(res.mat, 0, sizeof(res.mat)); res.r = n; res.c = n; for(int i = 1; i <= n; i++) { res.mat[i][i] = 1; } origin.c = n; origin.r = n; for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= n; j++) origin.mat[i][j] = s[i - 1][j - 1]; } } matrix multi(matrix x, matrix y) { matrix t; int i, j, k; memset(t.mat, 0, sizeof(t.mat)); t.r = x.r; t.c = y.c; for(i = 1; i <= x.r; i++) { for(k = 1; k <= x.c; k++) if(x.mat[i][k]) { for(j = 1; j <= y.c; j++) { t.mat[i][j] += (x.mat[i][k] * y.mat[k][j]) % 10000; t.mat[i][j] %= 10000; } } } // for(i=1;i<=2;i++) // { // for(j=1;j<=2;j++) // { // for(k=1;j<=2;k++) // { // t.mat[i][j]+=(x.mat[i][k]*y.mat[k][j])000; // t.mat[i][j]%=10000; // } // } // } return t; } int main() { freopen("in.txt","r",stdin); int m; while(scanf("%d", &m) != EOF) { if(m == -1) break; init(); while(m) { if(m & 1) { res = multi(origin, res); } origin = multi(origin, origin); m = m >> 1; } printf("%d\n", res.mat[1][2] % 10000); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/balfish/p/4014554.html
