【期望dp】bzoj4832: [Lydsy1704月赛]抵制克苏恩

Description

小Q同学现在沉迷炉石传说不能自拔。他发现一张名为克苏恩的牌很不公平。如果你不玩炉石传说，不必担心，小Q

同学会告诉你所有相关的细节。炉石传说是这样的一个游戏，每个玩家拥有一个 30 点血量的英雄，并且可以用牌

召唤至多 7 个随从帮助玩家攻击对手，其中每个随从也拥有自己的血量和攻击力。小Q同学有很多次游戏失败都是

因为对手使用了克苏恩这张牌，所以他想找到一些方法来抵御克苏恩。他去求助职业炉石传说玩家椎名真白，真白

告诉他使用奴隶主这张牌就可以啦。如果你不明白我上面在说什么，不必担心，小Q同学会告诉你他想让你做什么

。现在小Q同学会给出克苏恩的攻击力是 K ，表示克苏恩会攻击 K 次，每次会从对方场上的英雄和随从中随机选

择一个并对其产生 1 点伤害。现在对方有一名克苏恩，你有一些奴隶主作为随从，每名奴隶主的血量是给定的。

如果克苏恩攻击了你的一名奴隶主，那么这名奴隶主的血量会减少 1 点，当其血量小于等于 0 时会死亡，如果受

到攻击后不死亡，并且你的随从数量没有达到 7 ，这名奴隶主会召唤一个拥有 3 点血量的新奴隶主作为你的随从

；如果克苏恩攻击了你的英雄，你的英雄会记录受到 1 点伤害。你应该注意到了，每当克苏恩进行一次攻击，你

场上的随从可能发生很大的变化。小Q同学为你假设了克苏恩的攻击力，你场上分别有 1 点、 2 点、 3 点血量的

奴隶主数量，你可以计算出你的英雄受到的总伤害的期望值是多少吗？

Input

输入包含多局游戏。

第一行包含一个整数 T (T<100) ，表示游戏的局数。

每局游戏仅占一行，包含四个非负整数 K, A, B 和 C ，表示克苏恩的攻击力是 K ，你有 A 个 1 点血量的奴隶

主， B 个 2 点血量的奴隶主， C 个 3 点血量的奴隶主。

保证 K 是小于 50 的正数， A+B+C 不超过 7 。

Output

对于每局游戏，输出一个数字表示总伤害的期望值，保留两位小数。

题目分析

1 #include<cstdio> 2 3 int T,k,a,b,c; 4 double ans; 5 6 void dfs(int done, int n1, int n2, int n3, int bld, double sta) 7 { 8 if (done==k||!bld) return; 9 if (n1) dfs(done+1, n1-1, n2, n3, bld, sta*n1/(n1+n2+n3+1.0)); 10 if (n2){ 11 if (n1+n2+n3 < 7) 12 dfs(done+1, n1+1, n2-1, n3+1, bld, sta*n2/(n1+n2+n3+1.0)); 13 else dfs(done+1, n1+1, n2-1, n3, bld, sta*n2/(n1+n2+n3+1.0)); 14 } 15 if (n3){ 16 if (n1+n2+n3 < 7) 17 dfs(done+1, n1, n2+1, n3, bld, sta*n3/(n1+n2+n3+1.0)); 18 else dfs(done+1, n1, n2+1, n3-1, bld, sta*n3/(n1+n2+n3+1.0)); 19 } 20 ans += sta/(n1+n2+n3+1.0); 21 dfs(done+1, n1, n2, n3, bld, sta/(n1+n2+n3+1.0)); 22 } 23 int main() 24 { 25 freopen("cthun.in","r",stdin); 26 freopen("cthun.out","w",stdout); 27 scanf("%d",&T); 28 while (T--) 29 { 30 ans = 0; 31 scanf("%d%d%d%d",&k,&a,&b,&c); 32 dfs(0, a, b, c, 30, 1.0); 33 printf("%.2lf\n",ans); 34 } 35 return 0; 36 }

这个是暴力。标红部分意味着：对于n个奴隶主，攻击他们其中一个是不相同的，所以转移到这个状态的概率要乘n。

那么期望dp通常来说状态是倒着表示的：$f[t][i][j][k]$表示初始状态为$(t,i,j,k)$，最终的获得期望是多少。这样做的好处在于，可以预处理出所有的初始状态，并且转移时候会更加方便，不需要记录转移的概率。

1 #include<cstdio> 2 #include<cctype> 3 4 int T,k,a,b,c; 5 double f[53][13][13][13]; 6 7 int read() 8 { 9 int num = 0; 10 bool fl = 0; 11 char ch = getchar(); 12 for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) 13 if (ch==‘-‘) fl = 1; 14 for (; isdigit(ch); ch=getchar()) 15 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 16 if (fl) num = -num; 17 return num; 18 } 19 int main() 20 { 21 freopen("cthun.in","r",stdin); 22 freopen("cthun.out","w",stdout); 23 for (int t=1; t<=50; t++) 24 for (int i=0; i<=7; i++) 25 for (int j=0; i+j<=7; j++) 26 for (int k=0; i+j+k<=7; k++) 27 { 28 double sum = i+j+k+1.0; 29 f[t][i][j][k] += (f[t-1][i][j][k]+1)/sum; 30 f[t][i][j][k] += f[t-1][i-1][j][k]*i/sum; 31 if (i+j+k < 7) 32 f[t][i][j][k] += f[t-1][i+1][j-1][k+1]*j/sum, 33 f[t][i][j][k] += f[t-1][i][j+1][k]*k/sum; 34 else 35 f[t][i][j][k] += f[t-1][i+1][j-1][k]*j/sum, 36 f[t][i][j][k] += f[t-1][i][j+1][k-1]*k/sum; 37 } 38 T = read(); 39 while (T--) printf("%.2lf\n",f[read()][read()][read()][read()]); 40 return 0; 41 }