图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多。
对于线性表来说,是一对一的关系,所以用数组或者链表均可简单存放。树结构是一对多的关系,所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放。
那么我们的图,是多对多的情况,另外图上的任何一个顶点都可以被看作是第一个顶点,任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。
我们仔细观察以下几张图,然后深刻领悟一下:
因为任意两个顶点之间都可能存在联系,因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系(内存物理位置是线性的,图的元素关系是平面的)。
如果用多重链表来描述倒是可以做到,但在几节课前的树章节我们已经讨论过,纯粹用多重链表导致的浪费是无法想像的(如果各个顶点的度数相差太大,就会造成巨大的浪费)。
所幸,前辈们已经帮想好了出路,我们接下来会谈图的五种不同的存储结构,大家做好准备哦~
考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成,合在一起比较困难,那就很自然地考虑到分为两个结构来分别存储。
顶点因为不区分大小、主次,所以用一个一维数组来存储是狠不错的选择。
而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系,一维数组肯定就搞不定了,那我们不妨考虑用一个二维数组来存储。
于是我们的邻接矩阵方案就诞生了!
图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
我们可以设置两个数组,顶点数组为vertex[4]={V0,V1,V2,V3},边数组arc[4][4]为对称矩阵(0表示不存在顶点间的边,1表示顶点间存在边)。
对称矩阵:所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴,右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。
无向图的边构成了一个对称矩阵,貌似浪费了一半的空间,那如果是有向图来存放,会不会把资源都利用得很好呢?
可见顶点数组vertex[4]={V0,V1,V2,V3},弧数组arc[4][4]也是一个矩阵,但因为是有向图,所以这个矩阵并不对称,例如由V1到V0有弧,得到arc[1][0]=1,而V0到V1没有弧,因此arc[0][1]=0。
另外有向图是有讲究的,要考虑入度和出度,顶点V1的入度为1,正好是第V1列的各数之和,顶点V1的出度为2,正好是第V1行的各数之和。
在图的术语中,我们提到了网这个概念,事实上也就是每条边上带有权的图就叫网。
#include "stdlib.h" #include "stdio.h" #define MAX_VERTEX_NUM 10 /*最多顶点个数*/ #define INFINITY 32768 /*表示极大值,即∞*/ #define True 1 #define False 0 #define Error -1 #define Ok 1 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; /*图的种类:DG表示有向图, DN表示有向网, UDG表示无向图, UDN表示无向网*/ typedef char VertexData; /*假设顶点数据为字符型*/ typedef struct ArcNode { int adj; /*对于无权图,用1或0表示是否相邻;对带权图,则为权值类型*/ } ArcNode; typedef struct { VertexData vexs[MAX_VERTEX_NUM]; /*顶点向量*/ ArcNode arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; /*邻接矩阵*/ int vexnum,arcnum; /*图的顶点数和弧数*/ GraphKind kind; /*图的种类标志*/ }AdjMatrix; /*(Adjacency Matrix Graph)*/ int LocateVertex(AdjMatrix *G,VertexData v) /*求顶点位置函数*/ { int j=Error,k; for(k=0;k<G->vexnum;k++) if(G->vexs[k]==v) { j=k; break; } return(j); } int CreateDN(AdjMatrix *G) /*创建一个有向网*/ { int i,j,k,weight; VertexData v1,v2; printf("输入图的顶点数和弧数\n"); fflush(stdin); scanf("%d,%d",&G->arcnum,&G->vexnum); /*输入图的顶点数和弧数*/ for(i=0;i<G->vexnum;i++) /*初始化邻接矩阵*/ for(j=0;j<G->vexnum;j++) G->arcs[i][j].adj=INFINITY; for(i=0;i<G->vexnum;i++) { printf("输入图的顶点\n"); fflush(stdin); scanf("%c",&G->vexs[i]); /* 输入图的顶点*/ } for(k=0;k<G->arcnum;k++) { printf("输入一条弧的两个顶点及权值\n"); fflush(stdin); scanf("%c,%c,%d",&v1,&v2,&weight);/*输入一条弧的两个顶点及权值*/ i=LocateVertex(G,v1); j=LocateVertex(G,v2); G->arcs[i][j].adj=weight; /*建立弧*/ } return(Ok); } void main() { AdjMatrix G; CreateDN(&G); }
邻接矩阵看上去是个不错的选择,首先是容易理解,第二是索引和编排都很舒服~
但是我们也发现,对于边数相对顶点较少的图,这种结构无疑是存在对存储空间的极大浪费。
因此我们可以考虑另外一种存储结构方式,例如把数组与链表结合一起来存储,这种方式在图结构也适用,我们称为邻接表(AdjacencyList)。
邻接表的处理方法是这样:
若是有向图,邻接表结构也是类似的,我们先来看下把顶点当弧尾建立的邻接表,这样很容易就可以得到每个顶点的出度:
但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧,我们可以建立一个有向图的逆邻接表:
此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少,判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
对于带权值的网图,可以在边表结点定义中再增加一个数据域来存储权值即可:
邻接表固然优秀,但也有不足,例如对有向图的处理上,有时候需要再建立一个逆邻接表~
那我们思考了:有没有可能把邻接表和逆邻接表结合起来呢?
答案是肯定的,这就是我们现在要谈的十字链表(Orthogonal List)
为此我们重新定义顶点表结点结构:
接着重新定义边表结点结构:
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起,这样既容易找到以Vi为尾的弧,也容易找到以Vi为头的弧,因而容易求得顶点的出度和入度。
十字链表除了结构复杂一点外,其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的,因此,在有向图的应用中,十字链表也是非常好的数据结构模型。
以有向图为例:
/*图的十字链表结构形式化定义如下:*/ #include <malloc.h> #include <stdio.h> #define MAX_VERTEX_NUM 10 /*最多顶点个数*/ #define INFINITY 32768 /*表示极大值,即∞*/ #define True 1 #define False 0 #define Error -1 #define Ok 1 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; /*图的种类*/ typedef char VertexData; /*假设顶点数据为字符型*/ typedef struct ArcNode { int tailvex,headvex; struct ArcNode *hlink,*tlink; }ArcNode; typedef struct VertexNode { VertexData data; /*顶点信息*/ ArcNode *firstin,*firstout; }VertexNode; typedef struct { VertexNode vertex[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum,arcnum; /*图的顶点数和弧数*/ GraphKind kind; /*图的种类*/ }OrthList; /*图的十字链表表示法(Orthogonal List)*/ int LocateVertex(OrthList *G,VertexData v) /*求顶点位置函数*/ { int j=Error,k; for(k=0;k<G->vexnum;k++) if(G->vertex[k].data==v) { j=k; break; } return(j); } /*建立一个有向图的十字链表的算法如下:*/ void CrtOrthList(OrthList *g) /*从终端输入n个顶点的信息和e条弧的信息,以建立一个有向图的十字链表*/ { int n,e; int i,j,k; char vt,vh; ArcNode *p; printf("从键盘输入图的顶点个数和弧的个数"); fflush(stdin); scanf("%d,%d",&n,&e); /*从键盘输入图的顶点个数和弧的个数*/ g->vexnum = n; g->arcnum = e; for(i=0;i<n;i++) { printf("输入图的顶点"); fflush(stdin); scanf("%c",&g->vertex[i].data); g->vertex[i].firstin=NULL;g->vertex[i].firstout=NULL; } for(k=0;k<e;k++) { printf("输入一条弧的两个顶点"); fflush(stdin); scanf("%c,%c",&vt,&vh); i=LocateVertex(g,vt); j = LocateVertex(g,vh); p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); p->tailvex=i; p->headvex=j; p->tlink=g->vertex[i].firstout; g->vertex[i].firstout=p; p->hlink=g->vertex[j].firstin; g->vertex[j].firstin=p; } }/* CrtOrthList */ void main() { OrthList g; CrtOrthList(&g); }
讲了有向图的优化存储结构,对于无向图的邻接表,有没有问题呢?
如果我们在无向图的应用中,关注的重点是顶点的话,那么邻接表是不错的选择,但如果我们更关注的是边的操作,比如对已经访问过的边做标记,或者删除某一条边等操作,邻接表就显得不那么方便了。
到底有多烦?小甲鱼用图片告诉你:
若要删除(V0,V2)这条边,就需要对邻接表结构中边表的两个结点进行删除操作。
因此,我们也仿照十字链表的方式,对边表结构进行改装,重新定义的边表结构如下:
其中iVex和jVex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。iLink指向依附顶点iVex的下一条边,jLink指向依附顶点jVex的下一条边。
也就是说在邻接多重表里边,边表存放的是一条边,而不是一个顶点。(注意这句话)
不急,马上进入No pic you say a J8!环节~
边集数组是由两个一维数组构成,一个是存储顶点的信息,另一个是存储边的信息,这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标(begin)、终点下标(end)和权(weight)组成。
本文部分内容来自鱼C工作室,详细请见:http://blog.fishc.com/
关于邻接表与邻接多重表有时间会再补上,如有问题,请跟帖指出!!
原文地址:http://blog.csdn.net/u014492609/article/details/39937657