【欧拉函数】

在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler‘s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

简介

　　φ函数的值

　　φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

　　若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

　　欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

　　特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。

证明

　　设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，

　　若 n= ∏p^(α（下标p）)

　　则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)

　　例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24

　　与欧拉定理、费马小定理的关系

　　对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有

　　a^φ(m)≡1(mod m)

　　即欧拉定理

　　当m是质数p时，此式则为：

　　a^(p-1)≡1(mod p)

　　即费马小定理。

欧拉函数的编程实现

　　利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。

　　欧拉函数和它本身不同质因数的关系：欧拉函数ψ（Ｎ）＝Ｎ｛∏ｐ｜Ｎ｝（１－１/ｐ）。（Ｐ是数Ｎ的质因数）

　　如：

　　ψ（１０）＝１０×（１－１/２）×（１－１/５）＝４；

　　ψ（３０）＝３０×（１－１/２）×（１－１/３）×（１－１/５）＝８；

　　ψ（４９）＝４９×（１－１/７）＝４２。

详细推理

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。
有关性质：
对于素数 p ，φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。
这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。
欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n) ≡ 1 mod n 。
证明：
( 1 ) 令 Zn = {x₁, x₂, ..., x_φ(n)} ， S = {a * x₁ mod n, a * x₂ mod n, ... , a * x_φ(n) mod n} ，
则 Zn = S 。
① 因为 a 与 n 互质， x_i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * x_i 与 n 互质，所以 a * x_i mod n ∈ Zn 。
② 若 i ≠ j ， 那么 x_i ≠ x_j，且由 a, n互质可得 a * x_i mod n ≠ a * x_j mod n （消去律）。
( 2 ) a^φ(n) * x₁ * x₂ *... * x_φ(n) mod n
≡ (a * x₁) * (a * x₂) * ... * (a * x_φ(n)) mod n
≡ (a * x₁ mod n) * (a * x₂ mod n) * ... * (a * x_φ(n) mod n) mod n
≡ x₁ * x₂ * ... * x_φ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为 x_i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。
费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^{p - 1} ≡ 1 mod p 。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。
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补充：欧拉函数公式

( 1 ) p^k 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = p^k ，

φ(n) = p^k - p^{k -1}

证明：
小于 p^k 的正整数个数为 p^k - 1个，其中
和 p^k 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (p^{k - 1}-1)} 共计 p^{k - 1} - 1 个
所以 φ(n) = p^k - 1 - (p^{k - 1} - 1) = p^k - p^{k - 1} 。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射

所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。
( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：

I
n = ∏ p_i^k_i (I 为 n 的素因子的个数)
i=1

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为： 
I I
Φ(n) = ∏ p_i^k_i ^-1(p_i -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
i=1 i=1

对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在 p_i -1 是偶数。