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Author : Benjamin142857
Date : 2018/10/1
Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，对于 \(f(z) = u + iv\)
\[ \frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x} \]
Cauchy Goursat theorem - 柯西古萨定理，对于 \(f(z)\) 在D内解析
\[
\oint_cf(z)dz=0
\]
\(c : |z-z_0|=r\)
\[
\oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases}
\]
\(c\) 含 \(n\) 个奇点，每个奇点可以画个 \(c_k\) 小圆，\(k=1,2,...,n\)
\[
\oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz
\]
\(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续
\[
\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0)
\]
\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]
拉普拉斯方程，对于函数 \(\phi(x, y)\)
\[
\frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0
\]
一般题目所给出的积分路径 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析区域内或 \(f(z)\) 全平面解析，根据 C-G定理，积分与路径无关，转为x,y重积分
例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)
\[ \int_c \overline z dz \\= \int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + \int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i \]
路径未必在解析区域内的万能做法，但计算复杂
例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)
\(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\)
\(z = t+it^3\)
\(f(z) = t-it^3\)
\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)
若在解析区域， C-G定理
\[
\oint_C f(z)dz = 0
\]
[圈圈公式]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[ \oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz = 2\pi i \]
[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[ \oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 0 \]
[ 圈圈公式 + Cauchy积分公式 ]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz \\= \oint_{c}\frac{1}{(z-1)}dz \\= 2\pi i \]
[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 2\pi i \]
[高阶导数公式** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz \\= \frac{2\pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\\=0 \]
[高阶导数公式** + 圈圈公式 + 复合闭路定理 + **Cauchy积分公式]
例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\)
\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\\=\frac{2\pi i}{1!}[(\frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + \frac{2\pi i}{2!}[(\frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\\=不想算 \]
调和函数 \(\phi(x, y)\)
[C-R方程]\(\Downarrow\)
区域内的解析函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 实部与虚部均为调和函数
区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数
偏微分法
通过 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通过 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/benjamin142857/p/9775792.html
