标签：证明 欧拉 递推 ble bsp names main 多次 ext
这题出的真不是一般的好……
一句话描述题意就是求无限个2垒在你的指数上……求mod p的值，其中p不超过107
这玩意其实是一个递推函数（当然我们是递归求解的），我也不知道怎么拿语言描述233.
我们这题要用到欧拉降幂公式！
首先啥是欧拉降幂公式？
它的基本形式长这样：
Ak ≡ Ak%φ(m) + φ(m) (mod m) （k > φ(m)）
Ak ≡ Ak (mod m) (k <= φ(m))
具体是怎么证明的……？这证明过程太长了，我只抄在了本上。我们可以看一下这位大佬的证明！传送门
嗯，然后我们就用它来解决问题，这个问题中底数永远是2，然后指数……因为是无限个2我们直接给他看成一样的吧！这样的话，对于每个k mod φ(m),这个数是可以递归计算的，这个式子本来是2k的形式，但是因为无限的2，所以其实k也可以表示为2k的形式……只是每次向下递归的时候模数会变。
我们可能会有疑惑，但是这个指数是无限的呀！我们什么时候能算完呢？
但是不要忘了，我们每次递归之后，用来取模的数会从m变成φ(m),所以不需要递归很多次我们就会算到模数为1的情况，这个时候直接返回0，然后这样递归回去就有解啦！所以我们只要处理出所以欧拉函数就行（直接求似乎也行）
顺便还学了一下快速乘2333，和快速幂挺像的，就是把乘法变成了加法.
看一下代码。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue> #include<cstring> #define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++) #define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--) #define enter putchar(‘\n‘) #define pr pair<int,int> #define mp make_pair #define fi first #define sc second using namespace std; typedef long long ll; const int M = 100005; const int N = 10000005; ll read() { ll ans = 0,op = 1; char ch = getchar(); while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) { if(ch == ‘-‘) op = -1; ch = getchar(); } while(ch >=‘0‘ && ch <= ‘9‘) { ans *= 10; ans += ch - ‘0‘; ch = getchar(); } return ans * op; } ll T,n,pri[N],phi[N],tot; bool np[N]; ll qmul(ll a,ll b,ll mod) { ll p = 0; while(b) { if(b&1) p = (p + a) % mod; a = (a + a) % mod; b >>= 1; } return p; } ll qpow(ll a,ll b,ll mod) { ll p = 1; while(b) { if(b&1) p *= a,p %= mod; a *= a,a %= mod; b >>= 1; } return p; } void euler() { np[1] = 1; rep(i,2,N-5) { if(!np[i]) pri[++tot] = i,phi[i] = i - 1; for(int j = 1;i * pri[j] <= N-5;j++) { np[i * pri[j]] = 1; if(!(i % pri[j])) { phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j]; break; } else phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); } } } ll solve(ll mod) { if(mod == 1) return 0; else return qpow(2,solve(phi[mod])+phi[mod],mod); } int main() { euler(); T = read(); while(T--) n = read(),printf("%lld\n",solve(n)); return 0; }
标签：证明 欧拉 递推 ble bsp names main 多次 ext
原文地址：https://www.cnblogs.com/captain1/p/9781355.html
