标签：坐标变换 理论 杰出 快捷 函数 level title man 步骤
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，数学家冯·诺依曼用闻名世界的赌城——蒙特卡罗命名（就是那个冯·诺依曼）。
蒙特卡罗方法解题过程的主要步骤：
a.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量恰好是该模型的概率分布或数字特征。
b.对模型的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数。
c.对模拟实验结果进行统计分析，给出所求解的“估计”。
d.必要时，改进模型以提高估计精度和减少实验费用，提高模拟效率。
2、冯·诺依曼
冯·诺依曼（John von Neumann，1903~1957），20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论和核武器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一，被称为“计算机之父”和“博弈论之父”。主要贡献是：2进制思想与程序内存思想，当然还有蒙特卡洛方法。通过第一部分，可知，蒙特卡洛方法更多的是一种思想的体现（这点远不同于快排等“严格”类算法），下面介绍最常见的一种应用——随机数生成。
3、U(0,1)随机数的产生
对随机系统进行模拟，便需要产生服从某种分布的一系列随机数。最常用、最基础的随机数是在（0,1）区间内均匀分布的随机数，最常用的两类数值计算方法是：乘同余法和混合同余法。
乘同余法：
其中，
被称为种子，
是模，
是（0,1）区间的随机数。
混合同余法：
其中，
是非负整数。
这些随机数是具有周期性的，模拟参数的选择不同，产生的随机数质量也有所差异。更复杂的生成方法还有：
4、从U(0,1)到其它概率分布的随机数
离散型随机数的模拟
设随机变量X的概率分布为：
，分布函数有
设随机变量U~U(0,1)的均匀分布，则
，表明
的概率与随机变量u落在
与
之间的概率相同。
例如：离散随机变量X有分布律
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
U是(0,1)的均匀分布，则有
，这样得到的x便具有X的分布律。
连续型随机变量的模拟
常用的有两种方法：逆变换法和舍选法。逆变换法
定理：设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数，而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另
，则X和Y具有相同的分布。
证明：由定义知，X的分布函数
所以X和Y具有相同的分布。
这样计算得
，带入均匀分布的U，即可得到服从
的随机数Y。
例如：设X~U(a,b)，则其分布函数为
则
。所以生成U(0,1)的随机数U，则
便是来自U(a,b)的随机数。
有些随机变量的累计分布函数不存在或者难以求出，即使存在，但计算困难，于是提出了舍选法
要产生服从
的随机数，设x的值域为[a,b]，抽样过程如下：
1.已知随机分布
且x的取值区间也为[a,b]，并要求
，如图： 
2.从
中随机抽样得
，然后由
的均匀分布抽样得
。
3.接受或舍弃取样值
，如果
舍弃该值；返回上一步，否则接受。几何解释如下： 
常数c的选取：c应该尽可能地小，因为抽样效率与c成反比；一般取
。这里的
可以取均匀分布，这样由第二步中两个均匀分布便能得到其他任意分布的模拟抽样。
5、正态随机数的生成
除了上面的反函数法和舍选法，正态随机数还可以根据中心极限定理和Box Muller（坐标变换法）得到。
中心极限定理：如果随机变量序列 
独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差
，则对于一切
有
也就是说，当n个独立同分布的变量和，服从
的正态分布（n足够大时）。
设n个独立同分布的随机变量
，它们服从U(0,1)的均匀分布，那么
渐近服从正态分布
。
Box Muller方法，设（X,Y）是一对相互独立的服从正态分布
的随机变量，则有概率密度函数： 
令
，其中
，则
有分布函数： 
令
，则分布函数的反函数得：
。
如果
服从均匀分布U(0,1)，则
可由
模拟生成（
也为均匀分布，可被
代替）。令
为
，
服从均匀分布U(0,1)。得： 
X和Y均服从正态分布。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。
下面介绍几种简单的随机数的算法
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <time.h>
4
5 int main()
6 {
7 int i,j;
8 srand((int)time(0));
9 for (int i = 0; i < 10; i++)
10 {
11 for (int j = 0; j < 10; j++)
12 {
13 printf("%d ",rand());
14 }
15 printf("\n");
16 }
17 return 0;
18 }
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <time.h>
4
5 int main()
6 {
7 int i,j;
8 srand((int)time(0));
9 for (int i = 0; i < 10; i++)
10 {
11 for (int j = 0; j < 10; j++)
12 {
13 printf("%d ",rand()*100/32767);
14 }
15 printf("\n");
16 }
17 return 0;
18 }
也可以生成100——200之间的随机数
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <time.h>
4
5 int main()
6 {
7 int i,j;
8 srand((int)time(0));
9 for (int i = 0; i < 10; i++)
10 {
11 for (int j = 0; j < 10; j++)
12 {
13 printf("%d ",rand()/1000+100);
14 }
15 printf("\n");
16 }
17 return 0;
18 }
使用rand()函数获取一定范围内的一个随机数
如果想要获取在一定范围内的数的话，直接做相应的除法取余即可。
1 #include<iostream>
2 #include<ctime>
3 using namespace std;
4 int main()
5 {
6 srand(time(0));
7 for(int i=0;i<10;i++)
8 {
9 //产生10以内的整数
10 cout<<rand()%10<<endl;
11 }
12 }
1 #include <stdio.h>
2
3
4 double rand0_1(double *r)
5 {
6 double base=256.0;
7 double a=17.0;
8 double b=139.0;
9 double temp1=a*(*r)+b;
10 //printf("%lf",temp1);
11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
12 double temp3=temp1-temp2*base;
13 //printf("%lf\n",temp2);
14 //printf("%lf\n",temp3);
15 *r=temp3;
16 double p=*r/base;
17 return p;
18 }
19
20 int main()
21 {
22 double r=5.0;
23 printf("output 10 number between 0 and 1:\n");
24 for (int i = 0; i < 10; i++)
25 {
26 printf("%10.5lf\n",rand0_1(&r));
27 }
28 return 0;
29 }
1 #include <stdio.h>
2
3
4 double rand0_1(double *r)
5 {
6 double base=256.0;
7 double a=17.0;
8 double b=139.0;
9 double temp1=a*(*r)+b;
10 //printf("%lf",temp1);
11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
12 double temp3=temp1-temp2*base;
13 //printf("%lf\n",temp2);
14 //printf("%lf\n",temp3);
15 *r=temp3;
16 double p=*r/base;
17 return p;
18 }
19
20 int main()
21 {
22 double m=1.0,n=5.0;
23 double r=5.0;
24 printf("output 10 number between 0 and 1:\n");
25 for (int i = 0; i < 10; i++)
26 {
27 printf("%10.5lf\n",m+(n-m)*rand0_1(&r));
28 }
29 return 0;
30 }
u为均值，
为方差，当n趋向于无穷大的时候，得到随机的随机分布为正态分布；
1 #include <stdio.h>
2 #include <math.h>
3
4 double rand0_1(double *r)
5 {
6 double base=256.0;
7 double a=17.0;
8 double b=139.0;
9 double temp1=a*(*r)+b;
10 //printf("%lf",temp1);
11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数
12 double temp3=temp1-temp2*base;
13 //printf("%lf\n",temp2);
14 //printf("%lf\n",temp3);
15 *r=temp3;
16 double p=*r/base;
17 return p;
18 }
19
20 double random_normality(double u,double t,double *r ,double n)
21 {
22 double total=0.0;
23 double result;
24 for (int i = 0; i < n; i++)
25 {
26 total+=rand0_1(r);
27 }
28 result=u+t*(total-n/2)/sqrt(n/12);