标签：style 直接 树节点 方法 插入代码 value 时间 nbsp 树根
伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(1)
伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]
<= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(2) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。
假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。
相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。
1. 基本定义
1.1 节点
1 template <class T> 2 class SplayTreeNode{ 3 public: 4 T key; // 关键字(键值) 5 SplayTreeNode *left; // 左孩子 6 SplayTreeNode *right; // 右孩子 7 8 9 SplayTreeNode():left(NULL),right(NULL) {} 10 11 SplayTreeNode(T value, SplayTreeNode *l, SplayTreeNode *r): 12 key(value), left(l),right(r) {} 13 };
SplayTreeNode是伸展树节点对应的类。它包括的几个组成元素:
(1) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(2) left -- 是左孩子。
(3) right -- 是右孩子。
1.2 伸展树
template <class T> class SplayTree { private: SplayTreeNode<T> *mRoot; // 根结点 public: SplayTree(); ~SplayTree(); // 前序遍历"伸展树" void preOrder(); // 中序遍历"伸展树" void inOrder(); // 后序遍历"伸展树" void postOrder(); // (递归实现)查找"伸展树"中键值为key的节点 SplayTreeNode<T>* search(T key); // (非递归实现)查找"伸展树"中键值为key的节点 SplayTreeNode<T>* iterativeSearch(T key); // 查找最小结点：返回最小结点的键值。 T minimum(); // 查找最大结点：返回最大结点的键值。 T maximum(); // 旋转key对应的节点为根节点，并返回值为根节点。 void splay(T key); // 将结点(key为节点键值)插入到伸展树中 void insert(T key); // 删除结点(key为节点键值) void remove(T key); // 销毁伸展树 void destroy(); // 打印伸展树 void print(); private: // 前序遍历"伸展树" void preOrder(SplayTreeNode<T>* tree) const; // 中序遍历"伸展树" void inOrder(SplayTreeNode<T>* tree) const; // 后序遍历"伸展树" void postOrder(SplayTreeNode<T>* tree) const; // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 SplayTreeNode<T>* search(SplayTreeNode<T>* x, T key) const; // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 SplayTreeNode<T>* iterativeSearch(SplayTreeNode<T>* x, T key) const; // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 SplayTreeNode<T>* minimum(SplayTreeNode<T>* tree); // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 SplayTreeNode<T>* maximum(SplayTreeNode<T>* tree); // 旋转key对应的节点为根节点，并返回值为根节点。 SplayTreeNode<T>* splay(SplayTreeNode<T>* tree, T key); // 将结点(z)插入到伸展树(tree)中 SplayTreeNode<T>* insert(SplayTreeNode<T>* &tree, SplayTreeNode<T>* z); // 删除伸展树(tree)中的结点(键值为key)，并返回被删除的结点 SplayTreeNode<T>* remove(SplayTreeNode<T>* &tree, T key); // 销毁伸展树 void destroy(SplayTreeNode<T>* &tree); // 打印伸展树 void print(SplayTreeNode<T>* tree, T key, int direction); };
2. 旋转
旋转是伸展树中需要重点关注的，它的代码如下：
1 /* 2 * 旋转key对应的节点为根节点，并返回值为根节点。 3 * 4 * 注意： 5 * (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。 6 * 将"键值为key的节点"旋转为根节点。 7 * (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。 8 * b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 9 * b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 10 * (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。 11 * c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 12 * c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 13 */ 14 template <class T> 15 SplayTreeNode<T>* SplayTree<T>::splay(SplayTreeNode<T>* tree, T key) 16 { 17 SplayTreeNode<T> N, *l, *r, *c; 18 19 if (tree == NULL) 20 return tree; 21 22 N.left = N.right = NULL; 23 l = r = &N; 24 25 for (;;) 26 { 27 if (key < tree->key) 28 { 29 if (tree->left == NULL) 30 break; 31 if (key < tree->left->key) 32 { 33 c = tree->left; /* rotate right */ 34 tree->left = c->right; 35 c->right = tree; 36 tree = c; 37 if (tree->left == NULL) 38 break; 39 } 40 r->left = tree; /* link right */ 41 r = tree; 42 tree = tree->left; 43 } 44 else if (key > tree->key) 45 { 46 if (tree->right == NULL) 47 break; 48 if (key > tree->right->key) 49 { 50 c = tree->right; /* rotate left */ 51 tree->right = c->left; 52 c->left = tree; 53 tree = c; 54 if (tree->right == NULL) 55 break; 56 } 57 l->right = tree; /* link left */ 58 l = tree; 59 tree = tree->right; 60 } 61 else 62 { 63 break; 64 } 65 } 66 67 l->right = tree->left; /* assemble */ 68 r->left = tree->right; 69 tree->left = N.right; 70 tree->right = N.left; 71 72 return tree; 73 } 74 75 template <class T> 76 void SplayTree<T>::splay(T key) 77 { 78 mRoot = splay(mRoot, key); 79 }
上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
3. 插入
插入代码
1 /* 2 * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 3 * 4 * 参数说明： 5 * tree 伸展树的根结点 6 * key 插入的结点的键值 7 * 返回值： 8 * 根节点 9 */ 10 template <class T> 11 SplayTreeNode<T>* SplayTree<T>::insert(SplayTreeNode<T>* &tree, SplayTreeNode<T>* z) 12 { 13 SplayTreeNode<T> *y = NULL; 14 SplayTreeNode<T> *x = tree; 15 16 // 查找z的插入位置 17 while (x != NULL) 18 { 19 y = x; 20 if (z->key < x->key) 21 x = x->left; 22 else if (z->key > x->key) 23 x = x->right; 24 else 25 { 26 cout << "不允许插入相同节点(" << z->key << ")!" << endl; 27 delete z; 28 return tree; 29 } 30 } 31 32 if (y==NULL) 33 tree = z; 34 else if (z->key < y->key) 35 y->left = z; 36 else 37 y->right = z; 38 39 return tree; 40 } 41 42 template <class T> 43 void SplayTree<T>::insert(T key) 44 { 45 SplayTreeNode<T> *z=NULL; 46 47 // 如果新建结点失败，则返回。 48 if ((z=new SplayTreeNode<T>(key,NULL,NULL)) == NULL) 49 return ; 50 51 // 插入节点 52 mRoot = insert(mRoot, z); 53 // 将节点(key)旋转为根节点 54 mRoot = splay(mRoot, key); 55 }
insert(key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。
insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。
4. 删除
删除代码
1 /* 2 * 删除结点(节点的键值为key)，返回根节点 3 * 4 * 参数说明： 5 * tree 伸展树的根结点 6 * key 待删除结点的键值 7 * 返回值： 8 * 根节点 9 */ 10 template <class T> 11 SplayTreeNode<T>* SplayTree<T>::remove(SplayTreeNode<T>* &tree, T key) 12 { 13 SplayTreeNode<T> *x; 14 15 if (tree == NULL) 16 return NULL; 17 18 // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。 19 if (search(tree, key) == NULL) 20 return tree; 21 22 // 将key对应的节点旋转为根节点。 23 tree = splay(tree, key); 24 25 if (tree->left != NULL) 26 { 27 // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 28 x = splay(tree->left, key); 29 // 移除tree节点 30 x->right = tree->right; 31 } 32 else 33 x = tree->right; 34 35 delete tree; 36 37 return x; 38 39 } 40 41 template <class T> 42 void SplayTree<T>::remove(T key) 43 { 44 mRoot = remove(mRoot, key); 45 }
remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是内部接口。
remove(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。
标签：style 直接 树节点 方法 插入代码 value 时间 nbsp 树根
原文地址：https://www.cnblogs.com/Long-w/p/9786115.html
