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【bzoj2084】[Poi2010]Antisymmetry

时间:2018-10-19 19:47:39      阅读:184      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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2084: [Poi2010]Antisymmetry

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Description

对于一个01字符串,如果将这个字符串0和1取反后,再将整个串反过来和原串一样,就称作“反对称”字符串。比如00001111和010101就是反对称的,1001就不是。
现在给出一个长度为N的01字符串,求它有多少个子串是反对称的。

 

Input

第一行一个正整数N (N <= 500,000)。第二行一个长度为N的01字符串。

 

Output


一个正整数,表示反对称子串的个数。

 

Sample Input

8
11001011

Sample Output

7

hint
7个反对称子串分别是:01(出现两次), 10(出现两次), 0101, 1100和001011

HINT

 

Source

鸣谢 JZP

 

题意:

求一个01串中“反回文”子串的个数。“反回文”的定义为str[i]=!str[N-i+1]。

 

题解:

这道题枚举回文子串中间位置+二分答案即可AC,但实际上存在一种名为Manacher的线性算法。

我记得我个人解决回文子串问题的复杂度从O(N^3)到O(N^2)再到O(NlogN)不断进步,这次终于达到理论上的下限了……

(以下图片全部转自CSDN某dalao,侵删)

一般的回文串算法都是枚举回文串的中心位置然后分奇偶讨论。但Manacher算法提供了一种巧妙的方法使得可以将奇偶回文串在一起处理。

具体方法是在原串每两个字符间插入一个分隔符,再在头尾分别插入一个分隔符,分隔符要求不在原串中出现。如下:

 

技术分享图片

 

然后我们考虑设len[i]表示在新串中以i为中心的回文串向右延伸的长度。如下:

 

技术分享图片

 

接着归纳求解,假设我们已经求出了len[1~i-1]的值,现在要求len[i],记其中向右延伸到的位置最远的len[Po]为P(与扩展kmp神似),有如下几种情况:

若i<=P,那么找到i相对于po的对称位置j,如果len[j]<=P-i,如图:

 

技术分享图片

 

此时由对称性可得len[i]=len[j]。

如果len[j]>P-i,如图:

 

技术分享图片

 

此时len[i]至少为P-i,由于i右边的字符没有被匹配过,我们需要依次匹配并更新Po与P。

若i>P,如图:

 

技术分享图片

 

此时之前处理的信息对i没有什么用,我们仍然需要依次匹配并更新。

Manacher算法每次新匹配k个位置,匹配完即退出。每个位置会被计算且仅被计算一次,所以该算法的复杂度是线性的。

这道题即是Manacher算法的模板,只需要把匹配运算修改一下即可。

 

代码:

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;
#define MAXN 500005
#define MAXM 500005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long

char tp[MAXN],str[MAXN<<1|1];
ll len[MAXN<<1|1];
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c==-)
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-0;
    return x*f;
}

inline void solve(ll N){
    for(ll i=1;i<=N;i++)
        str[(i<<1)-1]=#,str[i<<1]=tp[i];
    str[N<<1|1]=#;str[0]=!;str[(N<<1|1)+1]=?;
    return;
}
inline bool check(char x,char y){return (x==#&&y==#)||(((x-0)^(y-0))==1);}
inline ll Manacher(ll N){
    ll pos=0,lag=0,ans=0;
    for(ll i=1;i<=N;i++){
        len[i]=(i<lag)?min(lag-i+1,len[(pos<<1)-i]):0;
        while(check(str[i+len[i]],str[i-len[i]])) len[i]++;
        if(i+len[i]-1>lag) lag=i+len[i]-1,pos=i;
        ans+=len[i]>>1;//cout<<len[i]<<endl;
    }return ans;
}

int main(){
    ll N=read();cin>>tp+1;solve(N);
    printf("%lld\n",Manacher(N<<1|1));
    return 0;
}

 

【bzoj2084】[Poi2010]Antisymmetry

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原文地址:https://www.cnblogs.com/YSFAC/p/9818363.html

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