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◇学时·10 & 模板·3◇ AC自动机

跟着高中上课……讲AC自动机的扩展运用。然而连KMP、trie字典树都不怎么会用的我一脸懵逼<(＿　＿)>

花一上午自学了一下AC自动机 QwQ

? Trie树

字典树的一种（听说还有其他字典树，不清楚）。每个节点代表一个字母，根节点相当于超级源点，根节点不表示字母。Trie树最大的特点是从根节点出发，沿着树边向下走，走过的节点会形成一个字符串。而一些节点是某一个单词的结尾，对于这种节点，我们一般会给它做一个标记（ovr）。

? 构建Trie树（Build）

根据Trie树的特点，最初的树是一个空集，只包含根节点。当我们要向树中插入一个单词str时，从根节点出发，如果根节点有表示str[0]的儿子，则移步到该儿子；否则新建立一个表示str[0]的儿子，再移步。以此类推，当我们要插入str[k]时，我们应该在第(k+1)层的某一个节点now（根节点为第一层），如果节点now有表示str[k]的儿子，则移步，否则先创建表示str[k]的儿子，再移步。直到将整个单词遍历完才结束。假设我们结束时的节点在now，那么ovr可以做两种基本的标记：① 该节点是多少个单词的结尾；② 该节点是哪一个单词的结尾……当然如果题目有一些奇怪的要求的话可以用ovr存储一些奇怪的东西，甚至多定义几个ovr也可以。

void Build(string str,int id){
	int len=str.length(),now=0; //当前节点是now，trie[0]是根节点
	for(int i=0;i<len;i++){
		if(!trie[now].son[str[i]-‘a‘])
			trie[now].son[str[i]-‘a‘]=++cnt; //cnt类似于指针，用于新建节点，(cnt+1)指向最近的一个空节点
		now=trie[now].son[str[i]-‘a‘]; //移步
	}
	trie[now].ovr=id; //做标记，这里是存储的trie[now]是哪一个单词的结尾
}

? 与AC自动机的关系

AC自动机是建立在Trie树上的，只是围绕KMP的fail函数增添了一些边。

? KMP

一种字符串匹配算法，在朴素的字符串匹配算法的基础上进行了可观的优化。若要在字符串A里查找字符串B，则称A为“主串”，B为“模式串”，当我们尝试一次匹配时发现匹配失败，则称为“失配”。

匹配时有两个指针，i表示从主串的第i个位置开始，j表示模式串匹配到了第j个位置。当朴素算法在主串第i个位置失配时，j会回到0，而i就+1，即从主串下一个位置继续从模式串的第一个位置开始匹配，这样会造成一种浪费——下一次匹配并没有利用到之前失配的匹配的已经匹配好的信息。

而KMP算法对其进行了优化。

? KMP算法的原理

KMP算法认为“不需要将模式串一个位置一个位置地向右滑动”，例如：

当模式串"abca"在主串"abcd"失配后，我们没有必要将i++，因为主串的下一个位置不是‘a‘，逐步滑动不一定会匹配。而KMP算法就会在发现失配后，直接将主串向右移动到可能匹配的最远位置！

当模式串的某一个前缀是模式串的真子串时，我们在失配后可以直接将模式串移动到该位置。

（不知道怎么解释了，看上面的3张图片吧）

? Fail函数

为了实现主串失配时指针不回溯，只调整模式串指针j，使模式串向右尽可能远地滑动，定义失配函数Fail(j)，表示当模式串中第j个字符与主串中Si失配时，在模式串中可能和主串中Si匹配的字符的位置。

转移式则是：fail[i]=①-1(i=0);②max{ k|0<k<j, 且p₀ …p_k-1=p_j-k+1 …p_j-1 };③0(其他情况)。

? AC自动机

? 插入单词和Trie树是一样的(￣▽￣)"

? 节点的结束单词统计也和Trie树是一样的

? 获取Fail函数

这里是用BFS获取的。当单词在字典树的第二层就失配即在第一个字符就失配时，fail一定是0。也就是说第二层节点的fail都指向根节点。我们将第一层的所有节点都push进队列里，然后如果节点u本来有"a"+i儿子v，则将v的fail指向u的fail的"a"+i儿子，否则直接将v指向u的fail的"a"+i儿子。

void GetFail(){
	queue< int > que;
	for(int i=0;i<26;i++) //遍历第二层
		if(trie[0].son[i])
			trie[trie[0].son[i]].fail=0,
			que.push(trie[0].son[i]);
	while(!que.empty()){
		int u=que.front();que.pop();
		for(int i=0;i<26;i++) //找儿子节点
			if(trie[u].son[i]){ //有表示"a"+i的儿子
				trie[trie[u].son[i]].fail=trie[trie[u].fail].son[i];
				//指向父亲的fail的"a"+i儿子
				que.push(trie[u].son[i]);
			}
			else
				trie[u].son[i]=trie[trie[u].fail].son[i];
				//直接将儿子指向父亲fail的"a"+i儿子
	}
}

? 主串上的递推

设now是当前所处的节点。从根节点开始则now的初始值为0。从头到尾枚举主串字符str[i]，先将now赋值为now的str[i]儿子。再沿着now的fail指针一直回溯到根节点，可以实现遍历str[0~i]的每一个后缀。对于str的每一个前缀都求出全部后缀，就相当于求出了str的全部子串。

根据题目要求统计答案。

void ACQuery(string str){
	int len=str.length();
	int now=0;
	for(int i=0;i<len;i++){
		now=trie[now].son[str[i]-‘a‘]; //移动now
		for(int j=now;j;j=trie[j].fail) //按fail指针回溯
			ans[trie[j].ovr].num++; //统计答案
	}
}

【学时总结&模板时间】◆学时·10 & 模板·3◆ AC自动机

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