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中国剩余定理

时间:2018-10-23 23:16:20      阅读:316      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:没有   同余方程   splay   line   lcm   计算   play   精简   欧几里得算法   

中国剩余定理

问题引入

求出一个数,使得这个数除 \(3\)\(2\), 除 \(5\)\(3\), 除 \(7\)\(2\)

问题求解

下面我们依照中国剩余定理的算法流程对这个问题进行求解,并且逐步解释其原理

对于这个问题,我们有一个比较简单的方法是:先找出每一个方程的解,再通过加其模数使之与其他方程的解的值相等
然而这样的想法是很难进行求解的,我们引入如下两个性质:

性质一\((a + b) \bmod p = a \bmod p + b \bmod p\)
性质二\((a * b) \bmod p = (a \bmod p) * b\)

性质一告诉我们:如果有一个数除 \(5\)\(3\),还有任意两个数被 \(5\) 整除,则这三个数的和满足除 \(5\)\(3\)
那么,我们构造出三个数 \(a, b, c\) 分别满足这三个方程,并且能被其它两个数整除,那么\(a + b + c\)就是这个方程组的一个解

因此,这个问题被我们转化成了一个简单的问题:求一个 \(x\),使得\(x \bmod 3 = 0, x \bmod 7 = 0\) 并且 \(x \bmod 5 = 3\)
显然,x会是 \(3 * 7 = 21\) 的倍数,那我们直接考虑 \((k * 21) \bmod 5 = 3\) 就行了。由性质二可以得知,我们只需将 \(21 \bmod 5\) 扩大 \((5 \times d) / (21 \bmod 5)\) 倍就行了,这个值就是 \(k\) 的值

上面这个问题(以本体为例)相等于求解一个 \(x\) 使得 \(1 * x = 3 \pmod 5\) 这个问题可以通过拓展欧几里得算法求解

以本体为例,我们写出计算过程。

  1. 求出最小公倍数\(lcm = 3 * 5 * 7 = 105\)
  2. 求出个数对应基础数
    对于第一个条件, 我们有\(105 / 3 = 35\)\(35 \bmod 3 = 2\) 满足,则基础数为 \(35\)
    对于第二个条件, 我们有\(105 / 5 = 21\)\(21 \bmod 5 = 1\) 不满足,将这个式子乘 \(3\),使得 \(63 \bmod 5 = 3\) 则基础数为 \(63\)
    对于第三个条件, 我们有\(105 / 7 = 15\)\(15 \bmod 7 = 1\) 不满足,与上一个步骤相同,乘 \(2\) 得到基础数为 \(30\)
    把基础数相加: \(35 + 63 + 30 = 128\)
  3. 减去最小公倍数(在比最小公倍数大的情况下)
    得到\(x = 128 - 105 = 23\)

数学模型

\(m_1, m_2, \cdots, m_n\) 是两两互质的整数,\(m = \prod_{i = 1}^nm_i, M_i = m / m_i\)\(t_i\) 是线性同余方程 \(M_it_i = 1 \pmod m_i\) 的一个解,对于任意的 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\), 方程组 \[x = a_i \pmod m_i\]有整数解,解为 \(x = \sum_{i = 1}^na_iM_it_i\)

证明

因为 \(M_i = m / m_i\) 是除 \(m_i\) 意外所有数的倍数,所以 \(\forall k \not= i, a_iM_it_i = 0 \pmod m_k\), 又因为 \(a_iM_it_i = a_i \pmod m_i\) 所以带入 \(x\), 原方程成立

代码

还没有精简

中国剩余定理

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Alessandro/p/9839521.html

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