关于筛法

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众所周知，筛法是打素数表的重要方法。基础的筛法也是很容易的，不需要多加赘述。这里提供一个优化的方法。

一般使用的筛法都是埃拉托斯特尼筛法，其代码如下：

void getPrime()  {      

 prime[0]=false;    

 prime[1]=false;     

 for (int i=2;  i<INT_MAX;  i++)        

   if (prime[i]) {         

  primes[++cnt ]=i;    

  for (int k=i*2; k<INT_MAX; k+=i)       

   prime[k]=false;      

   }      

}   

这种筛法简单易懂，但缺点是经常会多筛去合数，最简单的例子就是6，会被2，3分别筛去。当表的规模很大时，这个额外开销是惊人的。

有一些常数级的优化会被应用以减少这种开销，比如特判2后+2进行。改良后的代码如下：

void getPrime()  {      

 prime[0]=false;    

 prime[1]=false;

 prime[2]=true; 

 tot=0;      

 for (int i=3;  i<INT_MAX;  i+=2)  //这里间距改为了2      

   if (prime[i]) {         

  primes[++tot ]=i;    

  for (int k=i*3; k<INT_MAX; k+=2*i)       //这里的优化似乎比较少人做？事实上i的偶数倍显然是应该被剔除的

   prime[k]=false;      

   }      

}   

但这种优化并不能一劳永逸地解决问题。于是我又查到一个更有效的筛法，代码如下：

void getPrime(){
 prime[0]=1;

 prime[1]=1;

 tot=0;
 for(int i=2;i<MAX;i++){
  if(!prime[i])
   primes[tot]=i,tot++;
  for(int j=0;j<tot&&i*primes[j]<MAX;j++){
   prime[i*primes[j]]=1;
   if(i%primes[j]==0) break;
  }
 }
}

有人把它称作欧拉筛法，也有人称为快速线性筛法。它从根本上杜绝了重复筛合数的问题，保证每个合数只会被它最小的质因子筛去。一般情况下这样的效率已经足够了，但我们会发现，对普通筛法的优化在这里还适用。于是继续优化：

void getPrime(){
 prime[0]=1;

 prime[1]=1;

 tot=0;
 primes[tot]=2;
 tot++;
 for(int i=3;i<MAX;i+=2{
  if(!prime[i])
   primes[tot]=i,tot++;
  for(int j=0;j<tot&&i*primes[j]<MAX;j++){
   prime[i*primes[j]]=1;
   if(i%primes[j]==0) break;
  }
 }
}

 这样折腾一个简单算法的优化也没谁了......

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wengsy150943/p/9858824.html