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题意：给出$N,M$，试构造一个$N \times M$的非全$0$矩阵，其中所有格子都满足：它和它上下左右四个格子的权值之和为偶数。$N , M \leq 40$
可以依据题目中的条件列出有$N \times M$的元、$N \times M$个方程的异或方程组（异或方程组就是所有位置都是$1$或$0$，最右边一列的答案需要通过异或互相消除的方程组，一般在$mod\,2$意义下产生）。
理论上元和方程组数量一致的时候每一个元都是有唯一解的，但是在有解的情况下，其中一些方程是线性相关的，这意味着消到最后，某一些行会变成全$0$（如果不是很清楚可以像$vegetable chicken$我一样打一波$3 \times 3$和$4 \times 4$的表）。我们可以把行全$0$的元（又称之为自由元）全部设为$1$，因为它们是多少对方程最后有无解没有关系，然后一步步把上面推出来即可。
因为复杂度为$1600^3$平常的高斯消元速度很慢，所以可以用神仙$STL\,bitset$优化
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 inline int read(){ 5 int a = 0; 6 bool f = 0; 7 char c = getchar(); 8 while(c != EOF && !isdigit(c)){ 9 if(c == ‘-‘) 10 f = 1; 11 c = getchar(); 12 } 13 while(c != EOF && isdigit(c)){ 14 a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ ‘0‘); 15 c = getchar(); 16 } 17 return f ? -a : a; 18 } 19 20 const int dir[5][2] = {0,1,0,-1,1,0,-1,0,0,0}; 21 bitset < 1600 > gauss[1600] , ans; 22 23 int main(){ 24 #ifdef LG 25 freopen("3164.in" , "r" , stdin); 26 freopen("3164.out" , "w" , stdout); 27 #endif 28 int M , N; 29 cin >> M >> N; 30 for(int i = 0 ; i < M ; i++) 31 for(int j = 0 ; j < N ; j++) 32 for(int k = 0 ; k < 5 ; k++) 33 if(i + dir[k][0] >= 0 && i + dir[k][0] < M && j + dir[k][1] >= 0 && j + dir[k][1] < N) 34 gauss[i * N + j][(i + dir[k][0]) * N + j + dir[k][1]] = 1; 35 int now = 0; 36 for(int i = 0 ; i < M * N ; i++){ 37 int j = now; 38 while(j < M * N && !gauss[j][i]) 39 j++; 40 if(j == M * N) 41 continue; 42 if(j != now) 43 swap(gauss[now] , gauss[j]); 44 while(++j < M * N) 45 if(gauss[j][i]) 46 gauss[j] ^= gauss[now]; 47 now++; 48 } 49 for(int i = M * N - 1 ; i >= 0 ; i--){ 50 if(!gauss[i][i]) 51 ans[i] = 1; 52 if(ans[i]) 53 for(int j = i - 1 ; j >= 0 ; j--) 54 if(gauss[j][i]) 55 ans[j] = ans[j] ^ 1; 56 } 57 for(int i = 0 ; i < M ; i++){ 58 for(int j = 0 ; j < N ; j++){ 59 putchar(ans[i * N + j] + 48); 60 putchar(‘ ‘); 61 } 62 putchar(‘\n‘); 63 } 64 return 0; 65 }
Luogu3164 CQOI2014 和谐矩阵 异或、高斯消元
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Itst/p/9865061.html
