【51nod1815】调查任务（Tarjan+拓扑）

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大致题意：有\(N\)个城市由\(M\)条单向道路（图不一定联通），每个城市有一个发达程度\(a[i]\)，要求你求出首都\(S\)到城市\(i\)的一条路径上的两个不同城市\(x,y\)的\(a[x]\%a[y]\)的最大值（包括\(S\)和\(i\)），若无法到达输出\(-1\)。

一个简单的问题

首先，我们来考虑一个问题：若你已知若干个数，如何求出其中两个数相模后的最大值？

答案是显然的，用次大值（严格次大）去模最大值。

下面给出证明：

设这些数中的最大值为\(Max1\)，严格次大值为\(Max2\)，则

若一个数取\(Max1\)，另一个数取\(a（a<Max1）\)，显然，此时模后得到的值为\(a\)。说明当\(a\)小于\(Max1\)时，\(a\)越大越好，则我们可证，当一个数取\(Max1\)时，只有另一个数取\(Max2\)时，才能使相模后得到的结果最大，且得到的结果是\(Max2\)。

如果不取\(Max1\)，假设我们取得两个数是\(x,y（x≤y）\)，则它们相模后的结果一定小于\(y\)。又因为不能取\(Max1\)，所以\(y\)最大能取\(Max2\)，所以最终的结果一定小于\(Max2\)，显然没有一个数取\(Max1\)，一个数取\(Max2\)时得到的结果更优。

综上所述，当一个数取最大值，一个数取严格次大值时，两数相模的结果最大。

具体做法

那么这道题的做法就比较清晰了：

首先用\(Tarjan\)对原图进行缩点，将原图变成一棵树。

然后对缩点后的图按照拓扑序扫一遍对每一个城市预处理出答案。

最后就是对每一个询问输出答案了。

比较重要的一点就是要注意\(x\)和\(y\)两个城市必须在同一条路径上，我就为此而\(WA\)了无数次。。。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 400000
#define M 2000000
using namespace std;
int n,m,Q,s,tot,sum,cnt,top,a[N+5],lnk[N+5],nlnk[N+5],max1[N+5],max2[N+5],max3[N+5],max4[N+5],low[N+5],dfn[N+5],pos[N+5],que[N+5],Stack[N+5],IN[N+5];
bool vis[N+5];
struct edge
{
    int to,nxt;
}e[M+5],ne[M+5];//e[]存储缩点前的边，ne[]存储缩点后的边 
void read(int &x)
{
    x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') (x*=10)+=ch-'0',ch=getchar();
}
void write(int x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void add(int x,int y) 
{
    e[++cnt].to=y,e[cnt].nxt=lnk[x],lnk[x]=cnt;
}
void nadd(int x,int y) 
{
    ne[++cnt].to=y,ne[cnt].nxt=nlnk[x],nlnk[x]=cnt;
}
void Tarjan(int x)//用Tarjan将原图缩点，模板不解释 
{
    dfn[x]=low[x]=++tot,Stack[++top]=x,vis[x]=1;
    for(int i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
    if(!dfn[e[i].to]) Tarjan(e[i].to),low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
    else if(vis[e[i].to]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
    if(low[x]==dfn[x])
    {
        pos[x]=++sum,vis[x]=0,max1[sum]=a[x];
        while(Stack[top]!=x)
        {
            pos[Stack[top]]=sum,vis[Stack[top]]=0;
            if(a[Stack[top]]>max1[sum]) max2[sum]=max1[sum],max1[sum]=a[Stack[top]];//更新这个强连通分量中的最大值和次大值 
            else if(a[Stack[top]]!=max1[sum]&&a[Stack[top]]>max2[sum]) max2[sum]=a[Stack[top]]; 
            top--;
        } 
        top--;
    }
}
void topo_sort(int s)//按拓扑序预处理出答案 
{
    int H=0,T=1; 
    que[1]=s,vis[s]=1;
    while(H<T)
    {
        int x=que[++H];
        for(int i=nlnk[x];i;i=ne[i].nxt)
        {
            ++IN[ne[i].to]; 
            if(vis[ne[i].to]) continue;
            vis[ne[i].to]=1,que[++T]=ne[i].to;
        }
    }
    H=0,T=1,que[1]=s;
    while(H<T)
    {
        int x=que[++H];
        for(int i=nlnk[x];i;i=ne[i].nxt)
        { 
            //预处理出答案 
            max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],max2[x]);
            if(max1[ne[i].to]!=max3[x]) max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],min(max1[ne[i].to],max3[x]));
            else max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],max4[x]);
            if(max3[x]>max3[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[ne[i].to],max3[ne[i].to]=max3[x];
            else if(max3[ne[i].to]>max3[x]&&max3[x]>max4[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[x];
            if(max4[x]>max3[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[ne[i].to],max3[ne[i].to]=max4[ne[i].to];
            else if(max3[ne[i].to]>max4[x]&&max4[x]>max4[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max4[x];
            if(!(--IN[ne[i].to])) que[++T]=ne[i].to;
        }
    }
}
int main()
{
    read(n),read(m),read(Q),read(s);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++) 
        read(x),read(y),add(x,y);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(!dfn[i]) Tarjan(i);//Tarjan缩点 
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int j=lnk[i];j;j=e[j].nxt) 
            if(pos[i]!=pos[e[j].to]) nadd(pos[i],pos[e[j].to]);//处理出缩点之后的图 
    memcpy(max3,max1,sizeof(max3)),memcpy(max4,max2,sizeof(max4)),topo_sort(pos[s]);//预处理答案 
    while(Q--) 
    {
        int x;read(x);
        if(!vis[pos[x]]) printf("-1 ");//判断与s是否联通，不连通输出-1 
        else write(max2[pos[x]]),putchar(' ');//若联通输出答案 
    }
    return 0;
}

【51nod1815】调查任务（Tarjan+拓扑）

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