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若\(p\)为素数，\(a\)为正整数，且\(gcd(a,p)=1\)（即\(a,p\)互质）,则\(a^{p?1}\equiv1(mod\ p)\)。
首先我们要证明三个小性质。
因为\(p\)为素数，所以\(gcd(i,p)=1\)(\(1\le i\le p-1\),\(i\)为整数），可推出：
\[gcd((p-i)!,p)=1\tag{①}\]
又因为\(gcd(a,p)=1\)，所以\(gcd(i?a,p)=1\)，则：
\[没有一个是的倍数\text{没有一个}i*a\text{是}p\text{的倍数}\tag{②}\]?
设\(a=b*p+r\)，则\(gcd(i*r,p)=1\)，没有一个\(i*r\)是\(p\)的倍数。
假设有两个\(i*r\)在模\(p\)意义下同余，即设\(c*r\equiv d*r(mod\ p)(c<d)\)。
那么\((d-c)*r\equiv 0(mod\ p)\)，即\(p|(d?c)?r\)。
由于\(1\le d?c\le p?1\)，这与没有一个\(i*r\)是\(p\)的倍数矛盾。
所以\(i*r\)中没有任何两个数在模\(p\)意义下同余得证。即：
\[中没有任何两个数在模意义下同余i*a\text{中没有任何两个数在模}p{意义下同余}\tag{③}\]。
证明了①②③，我们就可以证明费马小定理了：?
由于②③，我们可以得知\(i*a\%p\)之后一定是\(1,2,3,…,p-1\)的一个排列，也就是：?
\[a?2a?3a?…?(p?1)a≡1?2?3?…?(p?1)(mod\ p)\]
即：?
\[(p?1)!?a^{p?1}≡(p?1)!(mod\ p)?\]
因为①，所以可以同除以\((p-1)!\)，得：
\[a^{p?1}≡1(mod\ p)\]
费马小定理得证。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/Fermat_little.html
