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? $(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 当且仅当 \(u=0\).
半范数 \(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \R\) 是一个线性映射，满足 \((i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\) $(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \R; $
? \((iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V.\)
范数 半范数+条件：\(||u||=0\) 当且仅当 \(u=0\).
范数等价定理：设 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是线性空间 \(\mathbf V\) 上两个范数，如果存在两个正数 \(c_1\) 和 \(c_2，\)
? 满足下列 不等 式, 则称 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是等价的，
\[
c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \R,\,\forall \,v \in \mit V.
\]
内积空间 如果一个线性空间被赋予内积,则它就是一个内积空间.
内积可以产生诱导范数
\[
||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.
\]
Schwarz inequality
\[
|(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V.
\]
对偶空间
如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是两个赋范线性空间, 所有从\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的线性泛函构成一个赋范线性空间 , 记为 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 对于 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定义范数如下：
\[
||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}.
\]
如果\(\mit W\) 空间是一个巴拿赫空间，则 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) 也是一个巴拿赫空间。
如果\(\mit W=\R\), 则称\({\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbf \R)}\)是 \(\mit V\) 的对偶空间，常记为\({\color{Red}\mit V‘}\).
对偶对(duality pairing) 满足下列的双线性形式，就被称为 \(\mit V\) 和\(\mit V‘\) 之间的对偶对，
\[
\begin{align*}
<\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V‘ \times \mit V \longrightarrow \R\&<L,v>\longmapsto L(v).
\end{align*}
\]
各种收敛性定义
强收敛：赋范线性空间\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V\) 是指按范数收敛，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infin).\)
弱收敛：赋范线性空间\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V\) 是指 对任意一个\(L\in\mit V‘\), 均有 \(L(v_n)\) 收敛于 \(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infin).\)
*弱收敛：对偶空间\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收敛于 \(L \, \in \mit V‘\) 是指对任意一个\(v\in \mit V\), 均有
? \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infin).\)
\(\mit L^{p}(\Omega)\) 空间 \(\Omega_{开}\subset \R^{d}\),\(d\ge 1\),且 \(\Omega\) 是 Lebesgue 可测。
? 其范数为
\[
\begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infin,\||v||_{\mit L^{\infin}} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\}
\end{align*}
\]
分布函数（\(Distributions\)）
\(\mit C^{\infin}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有紧支集(i.e. 存在有界开集\(\Omega‘\subset \Omega\), \(d (\part\Omega,\Omega)>0\)) 无穷维可微函数函数，且在边界上任意阶导数为零, 有时也记成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).
\(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的导数 \(\mathcal {D}^{\alpha}v:=\frac{\part^{|\alpha|}v}{\part^{\alpha_1}x_1\part^{\alpha_2}x_2 \cdots\part^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)
\(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收敛于 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一个有界闭子集\(K\) 满足对任意一个 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均为0，且对任意非负指标 \(\alpha\), 导数 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收敛于\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)
\(\color{Red}分布\)：\(\mathcal{D}(\Omega)\)对偶空间中的任一元素都被称为一个分布，即分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的线性泛函，\(L \in \mathcal{D‘}(\Omega)\)和 \(v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)
定义 \(\mathcal{D}(\Omega)\)的一个范数，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己证明一下)
$\mit L^{p}(\Omega) $\(\subset \mathcal{D‘}(\Omega)\), but $ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
proof: step 1 证明 $\forall L \[\in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的$\mathcal{D}(\Omega)$线性泛函；
\]
\begin{align}
L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x),dx,\forall v \in \mathcal{D}(\Omega).\
L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\
&=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\
&=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),,,,,,,\forall \alpha_1,\alpha_2 \in \R,v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega).
\end{align}
$$
? step 2 证明\(L\) 是连续的，即证 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)
? 下面我们来证明：
$$
\begin{align*}
L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x),dx \leq ||L||_p||v||q\
&\leq ||L||p(\int{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\
&\leq ||L||p ||v||{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\
&\leq C||v||{\mathcal{D}(\Omega)}.
\end{align*}
$$
? step3 反证法证明 $ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
? 假设$ \mathcal{D‘}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,$ 则由\(Risze\) 表示引理，\(\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\), 存在 \(u\in\mit{L^{p}_{\Omega}}\),
? 满足下列式子
?
?
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Merles/p/9873517.html
