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非常好的一道数学题，考察了大量数论和组合数学的知识
在做本题之前强烈建议先完成下列两个背景知识：
①：
bzoj 2142礼物
因为本题的一部分数据需要利用到拓展卢卡斯定理，而礼物是拓展卢卡斯定理的裸题，先做礼物是一个比较好的选择
有困难戳这里https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/82884768
②：
CF451E
本题的核心思想和CF451E完全相同，CF451E稍简单一些，所以先理解这里的思想再做本题会发现难度降了不少
有困难戳这里https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/83590652
接下来的讨论在你掌握了上两个背景知识的基础上进行：
首先我们注意到一点：他要求方程的解为正整数，那么这样不利于操作，所以我们把m减掉一个n，相当于预设每个x至少为1，然后仅需要求新方程的解非负即可
不要忘记修改上下界
那么这样就可以发现：前面1-n1的要求可以与CF451E完全一致，那么可以使用完全相同的方法来处理。
至于下界的问题：我们可以实现预设所有解均满足下界，那么我们可以再将m减掉所有的下界，这样其他所有x都可以随便选了。
这样就可以用于CF451E完全相同的方法解决掉这道题
可是不要忘记：本题的模数很有特点：
对于40%的数据，模数为10007，这是个质数，直接卢卡斯定理求组合数即可
对于另30%的数据，模数为一个大合数，但是可以质因子分解成几个不同的质数的乘积，那么对每个质数跑卢卡斯，最后中国剩余定理合并即可
对于最后30%的数据，模数为一个大合数，而且质因子分解之后有同一质数的幂次，所以只能使用拓展卢卡斯合并了
// luogu-judger-enable-o2 #include <cstdio> #define ll long long int T,p; int n,m,n1,n2; int aa[15]; int bb[15]; ll a[15]; ll s[10]; ll p0[4]={0,5,7,101}; ll pu[4]={0,125,343,10201}; ll num[4]={0,3,3,2}; ll mode[5]={10007,2,3,11,397}; ll inv[20005][5]; ll mul[20005][5]; struct node { ll mi; ll val; }; void init() { for(int i=0;i<=4;i++) { inv[0][i]=inv[1][i]=1; mul[0][i]=mul[1][i]=1; for(int j=2;j<mode[i];j++) { inv[j][i]=(mode[i]-mode[i]/j)*inv[mode[i]%j][i]%mode[i]; } for(int j=2;j<mode[i];j++) { mul[j][i]=mul[j-1][i]*j%mode[i]; inv[j][i]=inv[j-1][i]*inv[j][i]%mode[i]; } } } void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return; } ex_gcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-(a/b)*x; } ll C(ll x,ll y,int num) { if(x<y) { return 0; }else if(x==y) { return 1; } if(x<mode[num]) { return mul[x][num]*inv[y][num]%mode[num]*inv[x-y][num]%mode[num]; }else { return C(x%mode[num],y%mode[num],num)*C(x/mode[num],y/mode[num],num)%mode[num]; } } ll china() { ll M=262203414; ll ret=0; for(int i=1;i<=5;i++) { ll M0=M/mode[i-1]; ll x,y; ex_gcd(M0,mode[i-1],x,y); x=(x%mode[i-1]+mode[i-1])%mode[i-1]; ret+=x*a[i]%M*M0%M; ret%=M; } return ret; } ll solve(ll x,ll y) { for(int i=1;i<=5;i++) { a[i]=C(x,y,i-1); } return china(); } ll pow_mul(ll x,ll y,ll mod) { ll ans=1; while(y) { if(y&1) { ans*=x; ans%=mod; } x*=x; x%=mod; y>>=1; } return ans; } ll get_inv(ll a,ll b) { ll x,y; ex_gcd(a,b,x,y); return (x%b+b)%b; } node get_mul(ll x,ll num) { if(x==0) { return (node){0,1}; } ll ans=1; ll p1=x/p0[num],p2=x/pu[num]; if(p2) { for(ll i=2;i<pu[num];i++) { if(i%p0[num]) { ans*=i; ans%=pu[num]; } } ans=pow_mul(ans,p2,pu[num]); } for(ll i=pu[num]*p2+1;i<=x;i++) { if(i%p0[num]) { ans*=i; ans%=p; } } node re=get_mul(p1,num); return (node){re.mi+x,ans*re.val%p}; } ll get_C(ll x,ll y,ll num) { if(x<y) { return 0; }else if(x==y) { return 1; } node f1=get_mul(x,num); node f2=get_mul(y,num); node f3=get_mul(x-y,num); ll t1=pow_mul(p0[num],f1.mi-f2.mi-f3.mi,pu[num])*f1.val%pu[num]; ll t2=get_inv(f2.val,pu[num]); ll t3=get_inv(f3.val,pu[num]); return t1*t2*t3%pu[num]; } ll china_again() { ll M=p; ll ret=0; for(int i=1;i<=3;i++) { ll M0=M/pu[i]; ll x,y; ex_gcd(M0,pu[i],x,y); x=(x%pu[i]+pu[i])%pu[i]; ret+=x*M0%M*a[i]%M; if(ret>=M) { ret-=M; } } return ret; } ll ex_lucas(ll x,ll y) { for(int i=1;i<=3;i++) { a[i]=get_C(x,y,i); } return china_again(); } int main() { scanf("%d%d",&T,&p); init(); while(T--) { scanf("%d%d%d%d",&n,&n1,&n2,&m); m-=n; for(int i=1;i<=n1;i++) { scanf("%d",&aa[i]); aa[i]--; } for(int i=1;i<=n2;i++) { scanf("%d",&bb[i]); bb[i]--; m-=bb[i]; } if(m<0) { printf("0\n"); continue; }else if(m==0) { printf("1\n"); continue; } if(p==10007) { ll ans=0; for(int i=0;i<(1<<n1);i++) { int t1=m; int flag=1; for(int j=0;j<n1;j++) { if((1<<j)&i) { t1-=(aa[j+1]+1); flag=-flag; } } if(t1<0) { continue; } ans+=flag*C(t1+n-1,n-1,0); ans=(ans%p+p)%p; } printf("%lld\n",ans); }else if(p==262203414) { ll ans=0; for(int i=0;i<(1<<n1);i++) { int t1=m; int flag=1; for(int j=0;j<n1;j++) { if((1<<j)&i) { t1-=(aa[j+1]+1); flag=-flag; } } if(t1<0) { continue; } ans+=flag*solve(t1+n-1,n-1); ans=(ans%p+p)%p; } printf("%lld\n",ans); }else { ll ans=0; for(int i=0;i<(1<<n1);i++) { int t1=m; int flag=1; for(int j=0;j<n1;j++) { if((1<<j)&i) { t1-=(aa[j+1]+1); flag=-flag; } } if(t1<0) { continue; } ans+=flag*ex_lucas(t1+n-1,n-1); if(ans<0) { ans+=p; }else if(ans>=p) { ans-=p; } } printf("%lld\n",ans); } } return 0; }
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