标签：最小值 就是 概率 比较 span inline splay 等于 答案
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最值反演是针对一个集合中最大/最小值的反演。
\[
\max\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}
\]
如{1,2,3,4}的最大值=1+2+3+4-1-1-1-2-2-3+1+1+1+2-1=4。
套一个期望，就有该式子的期望形式：
\[
\mathbb{E}[\max\{S\}]=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\mathbb{E}[\min\{T\}]
\]
给定集合\(S\)中每个元素出现的概率\(p_i\)，其和为\(1\)，每次会按概率出现一个元素。求每个元素都至少出现一次的期望次数。
可用状压DP解决，复杂度\(O(2^n\cdot n)\)。
考虑定义集合\(T\)中元素的比较运算为最早出现时间更早。则\(\mathbb{E}[\min\{T\}]\)的意义为\(T\)中出现任意一个元素的期望次数。因为每次只能出现一个数，出现任意一个数的概率显然就是集合中所有概率的和。因此这个期望等于\(\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i}\)。最后答案即为\(\mathbb{E}[\max\{S\}]\)，用上面的反演即可，时间复杂度为\(O(2^n)\)。
给定集合\(S\)中每个元素每次出现的概率\(p_i\)，元素互相独立。求每个元素都至少出现一次的期望次数。
此时\(T\)中出现任意一个元素的概率是\(1\)减去所有元素都不出现的概率。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/utopia999/p/9898393.html
