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连续时间傅里叶变换

时间:2018-11-03 12:42:51      阅读:165      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1. 非周期信号的表示:连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解,我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即,在一个周期内

\[x(t) = \begin{cases} 1, & \text |t| < T_1 \0, & \text T_1 < |t| < T/2 \end{cases}\]

以周期 \(T\) 周期重复,如下图所示。
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该方波信号的傅里叶级数系数 \(a_k\)

\[ \tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}\]
式中 \(\omega_0 = 2\pi/T\)

理解(1) 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本,即

\[ \tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0}\]

这就是,若将 \(\omega\) 看作一个连续变量,则函数 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 \(Ta_k\) 的包络,这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且,若 \(T_1\) 固定,则 \(Ta_k\) 的包络就与 \(T\) 无关,如下图所示。
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从该图可以看出,随着 \(T\) 增加,该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 \(T\) 变得任意大,原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲(也就是说,在时域保留下的是一个非周期信号,它对应于原方波的一个周期)。

与此同时,傅里叶级数(乘以 \(T\) 后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集,这从某种意义上来说,随着 \(T\to \infty\),傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想,可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待

现在我们来考虑一个信号 \(x(t)\),它具有有限持续期 \(2T_1\),从这个周期信号出发,可以构成一个周期信号 \(\tilde x(t)\),使 \(x(t)\) 就是 \(\tilde x(t)\) 的一个周期。当把 \(T\) 选的比较大时,\(x(t)\) 就在一个更长的时段上与 \(\tilde x(t)\) 相一致,并且随着 \(T\to \infty\),对任意有限时间值 \(t\) 而言,\(\tilde x(t)\) 就等于 \(x(t)\)
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在这种情况下,我们考虑将 \(\tilde x(t)\) 表示成傅里叶级数,将积分区间选为 \(-T/2 \leqslant t \leqslant T/2\)

\[ \tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\]

\[ \tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt\]

式中 \(\omega_0=2\pi / T\),由于在 \(|t|< T/2\) 内,\(\tilde x(t)=x(t)\),而在其余地方,\(x(t)=0\),所以(4)式可以重新写为

\[ \tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt\]

因此,定义 \(Ta_k\) 的包络 \(X(j\omega)\)

\[ \tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\]

这时候,系数 \(a_k\) 可以写为

\[ \tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0)\]

将(3) 和 (7)结合在一起,\(\tilde x(t)\) 就可以用表示为

\[ \tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0\]

随着 \(T\to \infty\)\(\tilde x(t)\) 趋近于 \(x(t)\),式(8)的极限就变成 \(x(t)\) 的表达式。再者,当 \(T\to \infty\) 时,有 \(\omega_0\to 0\),式(8)的右边就过渡为一个积分。

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右边的每一项都可以看作是高度为 \(X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\) 宽度为 \(\omega_0\) 的矩形的面积。式(8)和式(6)就分别变成

\[\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega}\]

\[ \tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}\]

(9)式和 (10)式被称为傅里叶变换对。函数 \(X(j\omega)\) 称为 \(X(t)\)傅里叶变换或傅里叶积分,也通常被称为频谱,而 (9)式称为傅里叶反变换式

  • 例 1
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  • 例 2
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sinc 函数通常所用的形式为

\[ \tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta}\]

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2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 \(x(t)\),其傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 是一个面积为 \(2\pi\),出现在 \(\omega = \omega_0\)处的单独的一个冲激,即

\[\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\]

为了求出与 \(X(j\omega)\) 对应的 \(x(t)\),可以应用式(9)的反变换公式得到

\[\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t}\]

将上面的结果再加以推广,如果 \(X(j\omega)\) 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合,即

\[\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\]

那么利用式(9),可得

\[\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}\]

可以看出,式(15)就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此,一个傅里叶级数系数为 \(\{a_k\}\) 的周期信号的傅里叶变换,可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数,发生于第 \(k\) 次谐波频率 \(k\omega_0\) 上的冲激函数的面积是第 \(k\) 个傅里叶级数系数 \(a_k\)\({2\pi}\) 倍。
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3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便,我们将 \(x(t)\)\(X(j\omega)\) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

3.1. 线性

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

\[ y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)\]

\[\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)}\]

3.2. 时移性质

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

\[\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)}\]

这个性质说明:信号在时间上移位,并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

\[\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)}\]

共轭性质就能证明,若 \(x(t)\) 为实函数,那么 \(X(j\omega)\) 就具有共轭对称性,即

\[\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 为实]}\]

这就是说,傅里叶变换的实部是频率的偶函数,而虚部则是频率的奇函数

3.4. 微分和积分

\[\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)}\]

\[\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1} {j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}\]

3.5. 时间与频率的尺度变换

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

\[\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})}\]

若令 \(a=-1\),则有

\[\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)}\]

3.6. 对偶性

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3.7. 帕斯瓦尔定理

\[ x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)\]

\[\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega }\]

3.8. 卷积性质

\[\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}\]

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

\[\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]}\]

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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