标签：微分方程 strong 映射 pair line 分布 mes 学习总结 \n
内积
$(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R} $ 是一个双线性映射，并且满足 \((i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V\);
$(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 当且仅当 \(u=0\).
半范数
\(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \mathbb{R}\) 是一个线性映射，满足 \((i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\) $(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \mathbb{R}; $
\[ (iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V. \]
范数
半范数+条件：\(||u||=0\) 当且仅当 \(u=0\).
范数等价定理：
设 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是线性空间 \(\mathbf V\) 上两个范数，如果存在两个正数 \(c_1\) 和 \(c_2，\)
满足下列 不等 式, 则称 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是等价的，
\[ c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \mathbb{R},\,\forall \,v \in \mit V. \]
内积空间
如果一个线性空间被赋予内积,则它就是一个内积空间.
内积可以产生诱导范数
\[
||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.
\]
Schwarz inequality
\[
|(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V.
\]
希尔伯特空间
完备的内积空间是希尔伯特空间，即内积空间内任意柯西序列都是收敛的。
赋范线性空间
如果一个线性空间被赋予范数，则它成为赋范线性空间。
巴拿赫空间
完备的赋范线性空间，即赋范线性空间内任意柯西序列都是收敛的。
希尔伯特空间一定是巴拿赫空间。
如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是两个赋范线性空间, 所有从\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的线性泛函构成一个赋范线性空间 , 记为 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 对于 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定义范数如下：
\[
||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}.
\]
对偶对(duality pairing)满足下列的双线性形式，就被称为 \(\mit V?\) 和\(\mit V‘?\) 之间的对偶对，
\[
\begin{align*}
<\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V‘ \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R}\&<L,v>\longmapsto L(v).
\end{align*}
\]
强收敛：
赋范线性空间\(\mit V?\) 中序列 \(\{v_n\}?\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V?\) 是指按范数收敛，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infty).?\)
弱收敛：
赋范线性空间\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V\) 是指 对任意一个\(L\in\mit V‘\), 均有 \(L(v_n)\) 收敛于\(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infty).\)
*弱收敛
对偶空间\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收敛于 \(L \, \in \mit V‘\) 是指对任意一个\(v\in \mit V\), 均有 \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infty).\)
\({\color{Red}\mit V 中强收敛 \Rightarrow 弱收敛.}\)
\(\mit L^{p}(\Omega)\) 空间 \(\Omega_{开}\subset \mathbb{R}^{d}\),\(d\ge 1\),且 \(\Omega\) 是 Lebesgue 可测。
\[
\begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infty \right\},\,1 \leq p\, <\infty,\ \mit L^{\infty} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\}<\infty.
\end{align*}
\]
其范数为：
\[
\begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infty,\||v||_{\mit L^{\infty}} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\}
\end{align*}
\]
分布函数（\(Distributions\)）
\(\mit C^{\infty}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有紧支集(i.e. 存在有界开集\(\Omega‘\subset \Omega\), \(d (\partial\Omega,\Omega)>0\)) 无穷维可微函数函数，且在边界上任意阶导数为零, 有时也记成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).
\(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的导数 \(D^{\alpha}v:=\frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial^{\alpha_1}x_1\partial^{\alpha_2}x_2 \cdots\partial^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)
\(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收敛于 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一个有界闭子集\(K\) 满足对任意一个 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均为0，且对任意非负指标 \(\alpha\), 导数 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收敛于\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)
分布\(\mathcal{D}(\Omega)\)对偶空间中的任一元素都被称为一个分布，即分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的线性泛函，\(L \in \mathcal{D‘}(\Omega)\)和 \(v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)
定义 \(\mathcal{D}(\Omega)\)的一个范数，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己证明一下)*
\({\color{Red}分布的导数}\): \(\mit L \in \mathcal D‘(\Omega)\), \(\mit L\) 的 \(\alpha=(\alpha_1,\alpha_1,\cdots,\alpha_d)\) 阶导数定义如下：
\[
\begin{align*}
<D^{\alpha}\mit L，v>=(-1)^{|\alpha|}<\mit L,D^{\alpha}v>,\forall v\in\mathcal D(\Omega), D^{\alpha }v \in \mathcal D(\Omega) .
\end{align*}
\]
定理1 ：
如果 \(\mit L\) 是 \(\mathcal D(\Omega)\) 上一个光滑的函数，则分布意义下的导数 \(D^{\alpha}\mit L\) 与经典意义下的导数是一致的，即 \(D^{\alpha}\mit L=\mit L^{(\alpha)}\).（证明思路利用分部积分)
例1 ：\(f(x)=|x|,x\in R\)， \(f\not\in C^{1}(R)\) ， 虽然在经典导数意义下\(f‘\) 在 \(x=0\) 处是没有定义的，但是我们却可以得到分布意义下的导数
\[
D‘ f=\begin{cases}1 \,\,&x\,\ge0\\-1\,\,&x<0.
\end{cases}例2： $D^2f=D^{1}(D^{1}f)$,对任意$v\in \mathcal D(R),$
\]
例2：\(D^2f=D^{1}(D^{1}f)\),对任意\(v\in \mathcal D(R),\)
\[
\begin{align*}
<D^{1}(D^{1}f)>&=-<d^{1}f,D^{1}v>\ &=-\int^{\infty}_{0}D^{1}vdx+\int^{0}_{-\infty}D^{1}vdx\ &=v(0)+v(0)\ &=2v(0).
\end{align*}
\]
我们记为\(D^{2}f=\delta_0\), 其中 \(\delta_0\) 是 \(Dirac\) 函数，定义为 \(<\delta_0,v>=2v(0),\forall v\in \mathcal D(\Omega)\).
结论：\(\mit L^{p}(\Omega) \subset \mathcal{D‘}(\Omega)\), but $ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
step 1 证明 $\forall L \in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的\(\mathcal{D}(\Omega)\)线性泛函；
\[
\begin{align*}
L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx,\forall v \in \mathcal{D}(\Omega).\ L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\ &=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\ &=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),\,\,\,\,\,\,\forall \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R},v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega).
\end{align*}
\]
step 2 证明\(L\) 是连续的，即证 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)下面我们来证明：
\[
\begin{align*}
L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x)\,dx \leq ||L||_p||v||_q\ &\leq ||L||_p(\int_{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\ &\leq ||L||_p ||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\ &\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.
\end{align*}
\]
step3 证明$ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
\(Dirac\, 函数\) \(\delta_0\), 对任意 \(v\in \mathcal D(\Omega)\), \(<\delta_0,v>=v(0).\) 事实上，\(\delta_0 是\,\mathcal \,D(\Omega)\) 上的连续线性泛函，
\[
\begin{align*}
<\delta_0,t_1v_1+t_2v_2>&=(t_1v_1+t_2v_2)(0)\ &=t_1v_1(0)+t_2v_2(0)\ &=t_1<\delta_0,v_1>+t_2<\delta_0,v_2>.\ |<\delta_0,v>|&=|v(0)|\leq ||v||,其中||v|| =\sup_{\Omega}|v(x)|.
\end{align*}
\]
假设$ \mathcal{D‘}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1\(, 由\)Riesz$ 表示定理知，对任意一个 $v\in\mathcal D(\Omega) $, 存在 $w\in\mathcal{D‘}(\Omega) $满足下列式子 \(\delta_0(v)=<w,v>=\int_{\Omega}w(x)v(x)dx\), 这显然不对，例如取一个特殊的磨光函数 \(v_0\) ,它 \(x=0\) 处取值无穷，在其它位置取值为0.
\[ W^{k,p}(\Omega):=\{ v\in\mit L^{p}(\Omega)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(\Omega),\forall\,\alpha \,such\, that\, |\alpha|\leq k\} \\ \text 也就是表示本身及知道 k 阶导数均属于\mit L^{p}(\Omega)的函数空间. \]
$ W^{k,p}_{(\Omega)}$ 上定义范数
\[
||v||_{k,p,\Omega}=||v||_{k,p}=(\sum_{|\alpha|\leq k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}}
\]
半范数
\[
|v|_{k,p,\Omega}=|v|_{k,p}=(\sum_{|\alpha|= k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}}
\]
特殊情况 $d=1 $ i.e \(\Omega=I\)
\[
W^{k,p}(I)=\{ v\in\mit L^{p}(I)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(I), \alpha=1,2,\cdots, k\}
\]
\(p=2,\),
标签：微分方程 strong 映射 pair line 分布 mes 学习总结 \n
原文地址：https://www.cnblogs.com/Merles/p/9902815.html
