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问题描述：
设n 是一个正整数。2xn的标准2维表是由正整数1，2，…，2n 组成的2xn 数组，该数组的每行从左到右递增，每列从上到下递增。2xn的标准2维表全体记为Tab(n)。
例如，当n=3时Tab(3)如下：
思路分析：首先明确一下每行的数总是左边小于后面，上面小于下面，以上面的第一种情况进行分析，我们把第一行的数字对应为1表示进栈
。第二行的数字对应为-1表示出栈。我们知道一般情况进栈和出栈时栈里面的元素个数大于等于0，那么数字1看成进栈-1看成出栈，则总数之和要大于等于0。
即进出栈操作任何时刻进栈次数大于等于出栈的次数。那么上表的第一行第一个元素表示第一次是进栈操作，下面的4对应的是第一次进栈的元素在第四次出栈，第一行第二列2
表示第二次操作是进栈对应对应下面的5表示第五次操作是出栈，即把第二次进栈操作的元素出栈，依次类推，第三次是进栈操作，第六次把第三次进栈的元素弹出栈。
所以我们可以把表看出是元素的进出栈的操作，则tab(n)表示求元素个数为n的所有可能进出栈的操作。于是问题转换为n个元素所有可能进出栈的情况。
而求进出栈的所有可能情况的方法就是卡特兰数。下面简单介绍一下卡特兰数。
事实上，可以认为问题是，任意两种操作，要求每种操作的总次数一样，且进行第k次操作2前必须先进行至少k次操作1。我们假设一个人在原点，操作1是此人沿右上角45°走一个单位（一个单位设为根号2，这样他第一次进行操作1就刚好走到（1,1）点），操作2是此人沿右下角45°走一个单位。第k次操作2前必须先进行至少k次操作1，就是说明所走出来的折线不能跨越x轴走到y=-1这条线上！在进行n次操作1和n此操作2后，此人必将到到达（2n，0）！若无跨越x轴的限制，折线的种数将为C（2n，n），即在2n次操作中选出n次作为操作1的方法数。
现在只要减去跨越了x轴的情况数。对于任意跨越x轴的情况，必有将与y=-1相交。找出第一个与y=-1相交的点k，将k点以右的折线根据y=-1对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从（2n，0）对称到（2n，-2）。由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。而后者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1为n-1,操作2为n+1。总数为C（2n，n-1）。
catalan数和出栈序列的对应：
动态规划：我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：
f(1) = 1 //即 1
f(2) = 2 //即 12、21
f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。
分析：
1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；
3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，
根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；
结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)
然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)
下面是推导式，不给证明了
另类递推式:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
那么我们了解了卡特兰数之后就可以写代码了，demo如下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tan(int n){
if(n==1|| n==0)
return 1;
else if(n==2)
return 2;
else {
return tan(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << tan(n);
return 0;
}
但是这个代码只是简单运用了卡特兰数解决了n较小的问题，但是如下
其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
所以n较大的时候Int就无法表示，下面是处理大整数后的思路（关于大整数的内容可以我的参考这篇博客（https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/9867127.html））
下面是具体的大卡特兰数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char array1[200];
char array2[200];
int sum[400];
string f(string s1,string s2)//大整数乘法
{
reverse(s1.begin(),s1.end());
reverse(s2.begin(),s2.end());
memset(array1,0,sizeof(s1));
memset(array2,0,sizeof(s2));
memset(sum,0,sizeof(sum));
int l1=s1.length();
int l2=s2.length();
strcpy(array1,s1.c_str());
strcpy(array2,s2.c_str());
for(int i=0;i<l1;i++){
for(int j=0;j<l2;j++){
sum[i+j]+=((int)array1[i]-48)*((int)array2[j]-48);
}
}
int f=0;
while(true){
if(f<l1+l2){
int de=sum[f]/10;
sum[f]=sum[f]%10;
sum[f+1]+=de;
f++;
}
else{
break;
}
}
string a="";
int ig=0;
for(int i=l1+l2-1;i>=0;i--){
if((char)sum[i]+48!=‘0‘){
ig=1;
}
if(ig==1){
a+=(char)sum[i]+48;
}
}
return a;
}
string div(string a,int b){//大整数除法
char s[1000];
memset(s,0,sizeof(s));
unsigned long long sum=0;
for(int i=0;a[i];i++)
{
sum=sum*10+a[i]-‘0‘;
s[i]=sum/b+‘0‘;
sum=sum%b;
}
int j=0;
string as="";
while(s[j]==‘0‘)
j++;
for(;j<a.size();j++)
as+=s[j];//商
return as;
}
int t(string n)//把字符串变为int类型
{
int a=0;
int s=1;
for(int i=n.length()-1;i>=0;i--){
a+=((int)n[i]-48)*(s);
s*=10;
}
return a;
}
string tan(string n){//递归实现卡特兰数
if(n=="1"|| n=="0")
return "1";
else if(n=="2")
return "2";
else {
int s=t(n);
s=(s+1);
int st=t(n)*4-2;
int s1=t(n);
s1--;
char a[100];
char a1[100];
itoa(st,a,10);
itoa(s1,a1,10);
string s2=tan(a1);
string re=div(f(s2,a),s);
return re;
}
}
int main()
{
string s1;
string s2;
string s3;
cin >> s1;
cout << tan(s1);
}
标签：cat 整数 alt bsp pbm 代码 分享 space div
原文地址：https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/9867106.html
