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先来看看康托尔对集合的定义：“一个集合是我们知觉中或理智中的、确定的、互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体”。尽管康托尔本人已经建立起了相当广泛而深刻的集合理论，但对于集合本身的定义却还是含糊的，他的理论被称为“朴素集合论”（Native Set Theory）。虽然试图描述集合的每个属性，但其中“汇集”、“整体”等词其实是和“集合”等价的。定义的含糊使得各种悖论趁虚而入，这也成为反对者们的主要攻击目标。之后，策梅洛（Zermelo）为集合建立了一套公理化系统，并由弗兰克尔（Fraenkel）进行了扩充和修正，被称为ZF公理系统，包含选择公理（见下文）的ZF系统简称为ZFC系统。ZFC系统对集合的限制比较严格，后来由冯·诺伊曼（von Neumann）、哥德尔（Gödel）等人建立的GB公理系统则宽松很多，但这里仅介绍ZFC系统。
Zermelo（1871 - 1953） von Neumann（1903 - 1957） Gödel（1906 - 1978）
公理化系统中对原始概念不作定义，而只给出一些限定条件和定义，并在此基础上进行推理。同样，公理集合论中对集合不作定义，它是我们讨论的唯一对象。另外，集合间有未定义的基本关系：\(A\in B\)，可以说成\(A\)是\(B\)的元素（member），或\(B\)包含\(A\)。任何概念都首先有一个基本关系“等于”，ZFC系统的第一个公理就对“等于”作了定义，该公理其实可以看作是“等于”和“属于”的互相定义和描述。需要说明的是，虽然以下的结论都只有启发性的描述，严格的证明都是要从公理或定理推出的。
【ZFC-1】外延公理（Atom of Extensionality）：如果对任意\(x\)，\(x\in A\)当且仅当\(x\in B\)，则\(A=B\)。
\[\forall A\forall B(\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Rightarrow A=B)\]
鉴于语言不方便也不精确，公理系统采用了一阶谓词逻辑的语言。使用\(A\in B\)和\(A=B\)作为原子公式，加上逻辑操作符\(\neg\)、\(\wedge\)、\(\vee\)、\(\Rightarrow\)、\(\Leftrightarrow\)、\(\forall\)、\(\exists\)可以组成复杂的公式，原子公式的否定可以简写为\(A\notin B\)和\(A\ne B\)。如果\(C(x)\)是一个含有\(x\)的公式，且\(x\)不受\(\forall\)、\(\exists\)限制，则\(C(x)\)称为\(x\)的一个条件。
ZFC系统共10条公理，除去外延公理，其它9条都是对集合的限定，后续讨论的集合必须可以由这些公理构造。公理将集合限定在可控制的范围内，消除了悖论的产生，下面我们就从零开始，构建集合的大厦。
【ZFC-2】 空集公理（Atom of Empty Set）：存在不含任何元素的集合。
\[\exists A\forall x(x\notin A)\]
空集公理承认不包含任何元素的集合是存在的，这样就避免了追究元素到底是什么。更重要的是，空集公理承认了至少有一个集合存在，有了这块砖，集合的大厦就有了基础。当然，根据外延公理，空集都是相等的，即空集是唯一的（这样的推论以后不再赘述），一般记作\(\varnothing\)。
有了一个集合，接下来可以构造包含1个元素、2个元素...的集合。它们的数量非常庞大，如何用尽量少的公理去构造它们？我们直接来看看ZFC系统是如何解决的：
【ZFC-3】偶集公理（Atom of Pairing）：对任何集合\(a\)、\(b\)，都存在仅包含它们的集合\(A\)。
\[\forall a\forall b\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow x=a\vee x=b)\]
【ZFC-4】并集公理（Atom of Union）：对任意集合\(M\)，存在集合\(A\)，它的任何元素属于\(M\)的某个元素。
\[\forall M\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow\exists X(X\in M\wedge x\in X))\]
偶集公理开始对集合进行打包，构造更上层的集合，选择两个集合是因为1是无法扩展的，而且\(a=b\)时也有\(M=\{a\}\)。并集公理将打好的多个包合并为一个包，它用操作符\(\cup (M)\)表示，也可以对元素直接操作，比如\(\cup\{a,b\}=a\cup b\)。借助偶集公理它可以继续扩展集合元素的数量，比如\(\{a,b,c\}=\cup\{\{a,b\},\{c\}\}\)。另外要注意，并集公理并不限于两个集合的并，这为无穷集提供了很好的工具。
有了这3个公理，任何有限集都可在有限步内构造完成，有限的世界已经没有什么秘密了。如果再加上交（\(\cup\)，intersection）、并（\(\cap\)，union）、差（\(-\)）的运算和子集（\(\subseteq\)）、真子集（\(\subset\)）的概念，就和我们高中学习的集合没什么两样了。当然还有这么一个妖艳的计算并集的公式：容斥原理，它在概率论和组合学中经常出现，觉得公式复杂的画个文氏图就一目了然了。
\[\left| {\bigcup\limits_{i=1}^n{{A_i}}}\right| =\sum\limits_{k=1}^n{{{(-1)}^{k-1}}\sum\limits_{1\le{i_1}<\cdots<{i_k}\le n}{\left| {{A_{{i_1}}}\cap\ldots\cap{A_{{i_k}}}}\right| }}\]
在向无穷集进发之前，我们需要休整一下，再了解几个今后有用的公理和概念。
【ZFC-5】幂集公理（Atom of Power Set）：集合\(A\)的一切子集组成集合。
\[\forall A\exists P\forall X(X\in P\Leftrightarrow X\subseteq A)\]
【ZFC-6】子集公理（Atom Schema of Separation）：存在满足给定条件的子集。
\[\forall B\exists A\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B\wedge C(x))\]
幂集构建了一个很大的上层集合，为子集公理提供了非常好的限制集，\(A\)的幂集一般记作\(\mathscr{P}(A)\)。子集公理说明：满足一定条件集合，只有被限定在某个集合中时，才能组成集合。这使得集合不能是过于庞大的汇合，从而消除了各种悖论。考虑以下“集合”（很容易导出矛盾）：（1）一切不属于自己的集合（罗素悖论，Russell‘s Paradox）；（2）包含所有集合的集合。对于限制集比较明显的场合，也可以用\(\{x|C(x)\}\)来表示子集。
Russell（1872 - 1970） Peano（1858 - 1932） Dedekind（1831 - 1916）
数学处理的对象除了数之外，更多的是关系，而关系一般由有序对组成。集合中的元素是没有顺序的，需要为有序对（ordered pairs）建立模型。集合论中比较通用的有序对定义是：\((a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\)，你可以尝试证明其合理性。笛卡尔积\(A\times B\)定义为如下，它的限制集为\(\mathscr{P}(A\cup B)\)。只包含有序对的集合叫关系，\(xRy\)表示\((x,y)\)在关系\(R\)中，关系\(R\)所有元素的第一个元素组成定义域\({\rm dom}(R)\)，所有元素的第二个元素组成值域\({\rm ran}(R)\)，它们都是集合。
\[A\times B=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}\]
关系的逆和复合已是我们熟悉的概念，它们分别记作\(R^{-1}\)和\(R\circ S\)。对于关系\(F\)值域内的每个\(x\)，若满足\(xFy\)的\(y\)唯一，则\(F\)叫函数（function），且写作\(F:X\to Y\)，\(X\)上的二元运算则可以写做\(F:X\times X\to X\)，\(X\)到\(Y\)的一切函数组成的集合记作\(Y^X\)，\(F\restriction A =\{(x,y) \in F|x\in A\}\)称为\(F\)的限制（restriction）。另外还有大家熟悉的单射、满射、双射（一一映射，one-to-one injection）、象和原象的概念就不赘述了。
集合是数学的语言，而数学首先是研究数的，所以必须用集合为数下个定义。人们最初认识的是自然数（natural number），它有着非常简单的性质：“以0为起点，以1为步长依次排列”，所有自然数的运算都可以建立在这个简单的模型上。所以定义自然数不是一件难事，著名的皮亚诺公理系统（Peano）就为自然数建立了一个很好的模型，不过这里我们只介绍冯·诺伊曼用集合为自然数下的定义。
首先用\(\varnothing\)定义\(0\)、用\(\{\varnothing\}\)定义\(1\)是没有什么疑义的，那么\(2\)呢？用\(\{\{\varnothing\}\}\)？需要强调的是，自然数有两个本质属性：一个是数量，一个是顺序，所以\(2\)里既要体现它的大小，又要体现它与\(0\)、\(1\)的关系。冯·诺伊曼给出了如下巧妙的定义：
\[0=\varnothing,\quad n+1=\{0,1,\cdots,n\}\]
当然，我们需要用集合的语言重新描述一下，定义\(a^+=a\cup\{a\}\)为\(a\)的后继者（successor），任何自然数都是从\(\varnothing\)开始的某个后继者。仔细品味这个定义，它很好地满足了量和序的双重要求。对于一个包含有\(\varnothing\)的集合\(A\)，如果它的任意元素的后继者还是在\(A\)中，\(A\)被称为归纳集（inductive set），但从目前的6条公理我们还不能构造出这样的“集合”，它需要单独的一条公理来保证。
【ZFC-7】无穷公理（Atom of Infinity）：至少存在一个归纳集。
\[\exists A(\varnothing\in A\wedge (\forall a(a\in A\Rightarrow a^+\in A)))\]
归纳集是我们构造的第一个无穷集，但要注意一个归纳集中可能含有自然数之外的的其它元素，需要剔除它们才能得到纯正的自然数集。当然，有了一个归纳集作为限制集，加上用子集公理可以这样定义自然数集：\(\omega =\{n|n\in any\,inductive\,set\}\)，容易证明\(\omega\)也是归纳集，并且其中只有自然数。显然，\(\omega\)是最小的归纳集，如果它的某个子集\(A\)是归纳集，则有\(A=\omega\)，这就是著名的归纳原理（Induction Principle），它是我们熟悉的数学归纳法的理论依据，经常被用来证明某个性质对所有自然数都成立。
接下来需要验证这样的自然数集是否合理，看看它与我们直观上认识的自然数集是否兼容。直观上的自然数集表现为一个有序序列，每两个自然数\(m\)、\(n\)都可以进行比较，即\(m=n\)、\(m<n\)和\(m>n\)中有且仅有一个成立（三歧性）。用集合定义的自然数有两个等价的关系\(A\in B\)和\(A\subset B\)，反复运用归纳原理不难证明它们也有三歧性，所以可作为\(A<B\)的定义。自然数序列有开头而没有结尾，这个简单的性质使之区别于其它数集，而且也是后面扩展为超限数的基础。这个性质一般表现为“最小数定理”：任何自然数的集合都有最小数。证明思路是构造一个下限集，并选取其中的最大者，即是我们要找的最小数。这样看来，自然数加上\(A<B\)的定义，完全是和直观的自然数集相兼容的。
类似于自然数的定义，有一种常见的递归序列\(u_{n^+}=f(u_n)\)，序列的后一项依赖于前一项，这样的序列能否成为集合？直觉上看它和自然数集本质上是相同的，只要证明存在一个从自然数集到该序列的函数即可，这就是“递推原理”（Recursive Theorem）。虽然这个函数有明显的限制集，但由于是递归定义的，无法用有限的条件来描述它，所以简单地用子集公理是不行的。证明方法和自然数集的定义是类似的，即找寻满足条件的关系中最小那个（所有关系的交集），继而只要用归纳原理证明它满足递归条件且是函数即可。
有了递推原理，就可以按如下递归的方法定义自然数上的运算，容易证明它们都是\(F:\omega\times\omega\to\omega\)上的函数。至于这些运算的各种性质（交换律、分配律之类）也不难推导，就不再赘述了。
（1）\(m+0=m,\quad m+n^+=(m+n)^+\)；
（2）\(m\cdot 0=0,\quad m\cdot n^+=m\cdot n+m\)；
（3）\(m^0=1,\quad m^{n^+}=m^n \cdot m\)。
归纳原理和递推原理都依赖于“前序数”，而自然数则更强调“后序者”，如果想扩展这两个原理，需要摆脱对“前序数”的依赖。一个简单而有效的做法就是依赖所有“前序数”，如同最小数定理的证明一样，我们可以关注它们的“后序者”（学完超限数，这些就更明白了）。由此可以得到更具一般性的第二归纳原理和第二递推原理：
第二归纳原理：自然数集合\(A\)如果满足\(\forall x(x<n\Rightarrow x\in A) \Rightarrow n\in A\)，那么\(A=\omega\)。
第二递推原理：存在满足递归定义\(u_n=f(u\restriction n)\)的函数。
至此，自然数已经被很好的定义和研究了，你甚至可以自己很轻松地定义整数（integer number）和有理数（rational number），它们都可以由自然数扩展得来。但实数（real number）的定义似乎并不是那么显然，而实数却又是那样的真实和重要，必须有一个好的模型才能使微积分有个坚实的基础，这就回到了集合论创立的初衷。历史上有两个优秀的实数模型，一个来自康托尔的战友戴德金（Dedekind），一个来自康托尔本人。戴德金分割（Dedekind cut）将一个实数定义为有理数集的一个分割，这个简单而有效的定义非常适合于实数运算。康托尔则用无穷有理数列定义实数，本质是将实数定义为实无穷。关于数系的内容，我打算另开专题，这里就不展开讲了。
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