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泊松方程

时间:2014-10-11 21:02:46      阅读:375      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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泊松方程(英语Poisson‘s equation)是数学中一个常见于静电学机械工程理论物理偏微分方程,因法国数学家几何学家物理学家泊松而得名的。

泊松方程为

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在这里bubuko.com,布布扣代表的是拉普拉斯算子,而f和φ可以是在流形上的实数复数值的方程。当流形属于欧几里得空间,而拉普拉斯算子通常表示为bubuko.com,布布扣,因此泊松方程通常写成

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在三维直角坐标系,可以写成

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如果有bubuko.com,布布扣恒等于0,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

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泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是relaxation method,不断回圈的代数法,就是一个例子。

静电学

静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制SI)中:

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bubuko.com,布布扣代表电势(单位为伏特),bubuko.com,布布扣电荷体密度(单位为库仑/立方米),而bubuko.com,布布扣真空电容率(单位为法拉/米)。

如果空间中有某区域没有带电粒子,则

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此方程就变成拉普拉斯方程

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高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 bubuko.com,布布扣
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此处,Q代表总电荷
此泊松方程:bubuko.com,布布扣 的解Φ(r)则为
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erf(x)代表的是误差函数.
注意:如果r远大于σ,erf(x)趋近于1,而电场Φ(r)趋近点电荷电场 bubuko.com,布布扣;正如我们所预期的。




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