导数章节中的题型和对应求解思路

时间：2018-11-10 21:11:04 阅读：179 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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题型一：求曲线$F(x，y)=0$或函数$y=f(x)$的切线

类型1：一曲线一直线的单切线形、

思路方法：若是在点处，利用点斜式写出切线方程：$y-f(x_0)=f‘(x_0)(x-x_0)$；若是过点处，则设切点$(x_0，y_0)$，然后利用方程组求切点，再代入计算切线即可。

例1【2017全国卷1文科第14题高考真题】曲线$y=x^2+\frac{1}{x}$在点$(1，2)$处的切线方程是__________。
例2(过点处)：求曲线$C:y=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{4}{3}$经过点$P(2，4)$的切线方程；（$4x-y-4=0$或$x-y+2=0$）

例1分析：利用点斜式来求解，
其中斜率$k=f‘(x)_{|x=1}=(2x-\cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1$，
切点是$(1，2)$，
故切线方程为$y-2=1(x-1)$，整理为$y=x+1$。
例2分析：设经过点$P(2，4)$的切线方程与曲线相切于点$P_0(x_0，y_0)$，则有
$\begin{cases}y_0=\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3}\\ k=f‘(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f‘(x_0)(x-x_0) \end{cases}$
又因为点$P(2，4)$在切线方程上，则有$4-(\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0)$
整理得到，$x_0^3-3x_0^2+4=0$
$x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)$
$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)$
$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)$
$=(x_0+1)(x_0-2)^2=0$；
即$(x_0+1)(x_0-2)^2=0$，解得$x_0=-1$，或$x_0=2$
当$x_0=-1$时，切点为$(-1，1)$，$k_1=1$，切线方程为$x-y+2=0$；
当$x_0=2$时，切点为$(2，4)$，$k_2=4$，切线方程为$4x-y-4=0$；
注意：常用的变形方法有试商法、分组分解法、多项式除法；

类型2：两曲线一直线的公切线型、

思路方法：转化为一曲线和一直线型；或者利用同一法求解

(2017?潍坊模拟) 若存在过点$(1，0)$的直线与曲线$y＝x^3$和$y＝ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$都相切，则$a$等于【】
A、$-1$或$-\cfrac{25}{64}$ $\hspace{2cm}$ B、$-1$或$-\cfrac{21}{4}$ $\hspace{2cm}$
C、$-\cfrac{7}{4}$或$-\cfrac{25}{64}$ $\hspace{2cm}$ D、 $-\cfrac{7}{4}$或$7$

分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点处的与$y=x^3$相切的直线，
然后联立直线和抛物线(二次函数)，利用$\Delta=0$来解决。
设过点$(1，0)$的直线与曲线$y＝x^3$相切于点$(x_0，y_0)$，由$f‘(x)=3x^2$可得，
$\begin{cases}k=f‘(x_0)=3x_0^2 \\y_0=x_0^3 \\y-y_0=f‘(x_0)(x-x_0) \end{cases}$，又点$(1，0)$在切线上，故有$0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)$，
解得$x_0=0$或$x_0=\cfrac{3}{2}$；
当$x_0=0$时，$y_0=0$，即切点是$(0，0)$，斜率$k=0$，故切线方程为$y=0$，
与曲线$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2+\cfrac{15}{4}x-9=0$，
利用$\Delta=(\cfrac{15}{4})^2+4\times 9a=0$，解得$a=-\cfrac{25}{64}$；
当$x_0=\cfrac{3}{2}$时，$y_0=\cfrac{27}{8}$，即切点是$(\cfrac{3}{2}，\cfrac{27}{8})$，斜率$k=\cfrac{27}{4}$，
故切线方程为$y-\cfrac{27}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})$，
与曲线$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2-3x-\cfrac{9}{4}=0$，
利用$\Delta=(-3)^2-4\times a\times(-\cfrac{9}{4})=0$，解得$a=-1$；
综上，$a=-1$或$-\cfrac{25}{64}$，故选A。
反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；
直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用$\Delta=0$来解决。

题型二：求函数$y=f(x)$的单调区间或判断单调性

类型1：数字系数的函数的单调性的求解或证明

思路方法：转化为数字系数的不等式的求解，求解过程可以借助导函数的图像或者导函数的分子图像或者导函数的组成部分的图像，以形助数，简化求解；

例

类型2：字母系数的函数的单调性的求解

思路方法：转化含参不等式的求解，难点是分类讨论和数形结合

分析：

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9940432.html

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