射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换

标签：角度   映射   线性   line   推广   正交   不变性   strong   style   

射影变换组成了一个群，这个群被称为射影变换群。仿射变换是射影变换的子群。欧式变换（旋转+平移+等比缩放）是仿射变换的子群。相似变换和等距变换则是欧式变换的子群。

0.射影变换

定义

矩阵表示

用H表示，H为3×3的可逆实矩阵，虽然有9个未知数，但只有8个自由度（只与具体比率有关），其中h31与h32不为0是它与仿射变换的本质区别，它使得仿射变换的非线性效应。可以把一个H分解为：H=SAP,其中S为相似变换，A为仿射变换，P为射影变换。变换前后共点，共线，交比，相切，拐点，切线的不连续性和岐点保持不变。

注：n×n可逆实矩阵称为一般线性群GL(n)，当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群，记为PL(n)，在平面射影变换时为PL(3)。

射影变换矩阵表示：

H = {  h11, h12, h13

       h21, h22, h23

       h31, h32, h33  }

其中当最后一行为（0，0，1）时的变换为仿射变换，在仿射的前提下，当左上角2×2矩阵正交时为欧式变换，左上角矩阵行列式为1时为定向欧式变换。

1、等距变换：

它相当于是平移变换和旋转变换的复合，用R表示变换矩阵，R为3×3矩阵，

     R={{r11,r12,tx},{r21,r22,ty},{0,0,1}}

左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子，它有三个自由度，即旋转，x方向平移，y方向平移。等距变换前后长度，面积，线线之间的角度都不变。

2.相似变换

它相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合，用S表示变换矩阵，S为3×3矩阵，

    S={{s*r11,s*r12,tx},{s*r21,s*r22,ty},{0,0,1}}

左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子，它有4个自由度，即旋转，x方向平移，y方向平移和缩放因子s。相似变换前后长度比，夹角，虚圆点I,J保持不变（其实想到以前学的相似三角形的情况就行了）。

3.仿射变换

它相当于一个平移变换和一个非均匀变换的复合，用A矩阵表示，A为3×3矩阵，

A={{a11,a12,tx},{a21,a22,ty},{0,0,1}}    其中A可以分解为：A=R(a)R(-b)DR(b)，其中D={{c1,0},{0,c2}}

左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子，它有6个自由度，即旋转4个，x方向平移，y方向平移。他能保持平行性，不能保持垂直性，Image中各部分变换前后面积比保持不变，共线线段或者平行线段的长度比保持不变，矢量的线性组合不变。面积被缩放了c1*c2=detA倍。

   总结：仿射变换位于射影变换和相似变换之间，仿射变换推广相似变换使得夹角不再保持不变，造成物体形状在变换后产生歪斜

射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换

标签：角度   映射   线性   line   推广   正交   不变性   strong   style   

原文地址：https://www.cnblogs.com/zealousness/p/9975248.html