标签：相同 异或 种类 lin ++ 思想 平衡 重复 限制
title: poj-1459-最大流dinic+链式前向星
date: 2018-11-22 20:57:54
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暑期集训网络流草草水过，，连基本的算法都不知道有哪些，，，更别提怎么实现了，，，只知道网络流的大致的概念，，
今天花了一天的时间重新学习了一波，，，本以为这东西很简单，，，没想到不仅算法的实现一大堆的东西，，就连题目都有时候看不懂，，，，感受就是网络流的题不仅算法实现起来不好懂，，，每一道题的建图也很关键，，，几乎看到的每一道题的图都是得自己去建，，完全不像最短路那些题花里胡哨的东西都只改一改贪心时的方程就行，，，
这一段 算法导论 上讲的很好，，，不过我感觉还是在基本弄懂那几个算法再看一遍比较好QAQ
\(设 G(V, E)是一个有向网络, 在 V 中指定了一个顶点, 称为源点(记为 Vs ), 以及另一个顶点, 称为汇点(记为 Vt); 对于每一条弧 <u, v>∈E, 对应有一个权值 c(u, v)>0, 称为弧的容量, 通常把这样的有向网络 G 称为容量网络。\)
把它想象成 自来水厂 、 自来水管网 和 用户 那种图就行了，，，
通过容量网络 G 中每条弧 <u, v> 上的实际流量(简称流量), 记为 \(f(u, v)\)。
除了 Vs, Vt 外, 其余的点流入的流量总和等于流出的流量总和, 其中 Vs 流出的流量总和 - 流出的流量总和 = f, Vt 流入的流量总和 - 流出的流量总和 = f, 并且称 f 为可性流的流量
也就是指: \(在图中有一条从 Vs 到 Vt 的路径, 这条路径上起点 fo?fi=f, 终点 fi?fo=f， 其他的点 fi==fo, 并且所有的边的当前流量小于等于最大流量.(其中 fi 代表流入流量, fo 代表流出流量)\)
如果一个网络流只满足弧流量限制条件, 不满足平衡条件, 则这种网络流称为伪流, 或称为容量可行流。
在容量网络 G(V, E) 中, 满足弧流量限制条件和平衡条件、且具有最大流量的可行流, 称为网络最大流, 简称最大流。
在容量网络 G(V, E) 中, 设有一可行流 f = { f(u, v) }, 根据每条弧上流量的多少、以及流量和容量的关系,可将弧分四种类型:
饱和弧, 即 f(u,v)=c(u,v);
非饱和弧,即 f(u,v)<c(u,v);
零流弧, 即 f(u,v)=0;
非零流弧, 即 f(u,v)>0。
在容量网络中,称顶点序列(u,u1,u2,…,un,v)为一条链,要求相邻两个顶点之间有一条弧, 如 <u, u1> 或 <u1, u> 为容量网络中一条弧。沿着 Vs 到 Vt 的一条链, 各弧可分为两类:
后向弧: 方向与链的正方向相反的弧, 其集合记为 P-;
设 f 是一个容量网络 G 中的一个可行流, P 是从 Vs 到 Vt 的一条链, 若 P 满足下列条件:
在 P 的所有前向弧 <u, v> 上, 0≤f(u,v)<c(u,v), 即 P+ 中每一条弧都是非饱和弧;
在 P 的所有后向弧 <u, v> 上, 0<f(u,v)≤c(u,v), 即 P– 中每一条弧是非零流弧。
则称 P 为关于可行流 f 的一条增广路, 简称为 增广路(或称为增广链、可改进路) 。沿着增广路改进可行流的操作称为增广.
给定容量网络 G(V, E) 及可行流 f, 弧 <u, v> 上的残留容量记为 c′(u,v)=c(u,v)–f(u,v)。每条弧的残留容量表示该弧上可以增加的流量。因为从顶点 u 到顶点 v 流量的减少, 等效于顶点 v 到顶点 u 流量增加, 所以每条弧 <u, v> 上还有一个反方向的残留容量 c′(v,u)=–f(u,v)。
\(设有容量网络 G(V, E) 及其上的网络流 f,G 关于 f 的残留网络(简称残留网络)记为 G'(V', E'), 其中 G’的顶点集 V’和 G 的顶点集 V 相同,即 V’=V, 对于 G 中的任何一条弧 <u, v>, 如果 f(u,v)<c(u,v), 那么在 G’中有一条弧 <u, v>∈E', 其容量为 c′(u,v)=c(u,v)–f(u,v), 如果 f(u,v)>0,则在 G’中有一条弧 <v, u>∈E', 其容量为 c′(v,u)=f(u,v), 残留网络也称为剩余网络.\)
割: \(在容量网络 G(V, E) 中, 设 E'?E, 如果在 G 的基图中删去 E’ 后不再连通, 则称 E’ 是 G 的割。割将 G 的顶点集 V 划分成两个子集 S 和 T = V - S。将割记为(S, T)。 s-t 割: 更进一步, 如果割所划分的两个顶点子集满足源点 Vs ∈ S,汇点 Vt ∈ T, 则称该割为 s-t 割。 s-t 割(S, T)中的弧 <u, v>(u∈S, v∈T) 称为割的前向弧, 弧 <u, v>( u∈T, v∈S) 称为割的反向弧。\)
割的容量:\(设 (S, T) 为容量网络 G(V, E) 的一个割, 其容量定义为所有前向弧的容量总和, 用 c(S, T) 表示。\)
最小割: \(容量网络 G(V, E) 的最小割是指容量最小的割。\)
\(设 f 是容量网络 G(V, E) 的可行流, f’ 是残留网络 G’ 的可行流, 则 f + f’ 仍是容量网络 G 的一个可行流。(f + f’ 表示对应弧上的流量相加)\)
\(在一个容量网络 G(V, E) 中, 设其任意一个流为 f, 关于 f 的任意一个割为(S, T), 则有 f(S,T)=|f|,即网络流的流量等于任何割的净流量。\)
\(在一个容量网络 G(V, E) 中, 设其任意一个流为 f, 任意一个割为(S, T), 则必有 f(S,T)≤c(S,T),即网络流的流量小于或等于任何割的容量。\)
\(对容量网络 G(V, E), 其最大流的流量等于最小割的容量。\)
\(设容量网络 G(V, E) 的一个可行流为 f, f 为最大流的充要条件是在容量网络中不存在增广路。\)
\(设容量网络 G(V, E)的一个可行流为 f 则:\)
\(1) f 是容量网络 G 的最大流;\)
\(2) | f |等于容量网络最小割的容量;\)
\(3) 容量网络中不存在增广路;\)
\(4) 残留网络 G’中不存在从源点到汇点的路径。\)
最大流相关算法有两种解决思想, 一种是增广路算法思想, 另一种是预流推进算法思想。
根据增广路定理, 为了得到最大流, 可以从任何一个可行流开始, 沿着增广路对网络流进行增广, 直到网络中不存在增广路为止,这样的算法称为增广路算法。问题的关键在于如何有效地找到增广路, 并保证算法在有限次增广后一定终止。
增广路算法的基本流程是 :
图示如下:
增广路算法的关键是 寻找增广路 和 改进网络流.
为程序提供一次返回的机会
在图中如果程序找到了一条增广路 1 -> 2 -> 4 -> 6, 此时得到一个流量为 2 的流并且无法继续进行增广,
但是如果在更新可行流的同时建立反向弧的话, 就可以找到 1 -> 3 -> 4 -> 2 -> 5 -> 6 的可行流, 流量为1, 这样就可以得到最大流为 3.
因为ek算法的效率没有dinic的高，，所以本着先追求实用主义就先看了dinic算法，，，算法实现的模板时kaungbin的，，，dinic+链式前向星。。。
DINIC 在找增广路的时候也是找的最短增广路, 与 EK 算法不同的是 DINIC 算法并不是每次 bfs 只找一个增广路, 他会首先通过一次 bfs 为所有点添加一个标号, 构成一个层次图， 然后在层次图中寻找增广路进行更新。
1.利用 BFS 对原来的图进行分层，即对每个结点进行标号，这个标号的含义是当前结点距离源点的最短距离(假设每条边的距离都为1)，注意：构建层次图的时候所走的边的残余流量必须大于0
2.用 DFS 寻找一条从源点到汇点的增广路, 注意: 此处寻找增广路的时候要按照层次图的顺序, 即如果将边(u, v)纳入这条增广路的话必须满足dis[u]=dis[v]?1, 其中 dis[i]为结点 i的编号。找到一条路后要根据这条增广路径上的所有边的残余流量的最小值l更新所有边的残余流量(即正向弧 - l, 反向弧 + l).
3。重复步骤 2, 当找不到一条增广路的时候, 重复步骤 1, 重新建立层次图, 直到从源点不能到达汇点为止。
这道题的题意是给你n个源点（发电站）、np个中间路径点（中转站）、nc个汇点（用户）以及m个通路。。求最大送到用户的效率也就是图的最大流。。
多个源点和汇点所以要弄一个超级源点s和超级汇点t，，，s,t连源点，汇点然后跑dinic就行了，，
具体的代码的细节都注释在里面了，，，都是自己的理解可能有误，，，看的头疼.jpg
//dinic求网络流的最大流
//bfs求一次层次图
//dfs求源点到汇点的一条增广路
//然后根据这条增广路中残余流量的最小值tp来更新所有边的残余流量
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxm = 1e5 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n , np , nc , m;
int u , v , z;
//前向星存图
struct edge
{
int to;
int next;
int cap; //容量
int flow; //流量
}edge[maxm]; //注意边数为所给边数的两倍多
int tol;
int head[maxn];
void init()
{
tol = 2; //???
memset(head , -1 , sizeof head);
}
void addedge(int u , int v , int w , int rw = 0)
{
//前向星加边，反向弧容量为rw一般为0
//正反弧相邻存储，直接异或就能找到
//正向弧的编号要比反向弧的编号小
edge[tol].to = v;edge[tol].cap = w;edge[tol].flow = 0;
edge[tol].next = head[u];head[u] = tol++;
edge[tol].to = u; edge[tol].cap = rw;edge[tol].flow = 0;
edge[tol].next = head[v];head[v] = tol++;
}
int q[maxn]; //双向队列，bfs使用
int dep[maxn] , cur[maxn] , sta[maxn];//sta保存增广路的边
bool bfs(int s , int t , int n)
{
//bfs搜索网络的层次
int front = 0;
int tail = 0;
memset(dep , -1 , sizeof(dep[0]) * (n + 1));
dep[s] = 0;
q[tail++] = s;
while(front < tail)
{
int u = q[front++];
//前向星图的遍历
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(edge[i].cap > edge[i].flow && !(~dep[v]))
{
//(u,v)这条边的容量大于流量时即残余流量大于0并且这个点没有被分层时
dep[v] = dep[u] + 1; //分层
if(v == t)return true;
q[tail++] = v;
}
}
}
return false;
}
int dinic(int s , int t , int n)
{
int maxflow = 0; //待求的最大流
while(bfs(s , t , n)) //当层次图存在时进行dfs寻找增广路
{
for(int i = 0; i < n; ++i)cur[i] = head[i]; //当前所有可以利用链式前向星遍历的边的编号
int u = s , tail = 0; //tail表示找到的增广路的点的数量
while(~cur[s]) //边合法时
{
if(u == t) //找到汇点时，即找到一条增广路时
{
int tp = inf; //tp为该增广路中最小的残余流量
//找到最小值
for(int i = tail - 1; i >= 0; --i)
tp = min(tp , edge[sta[i]].cap - edge[sta[i]].flow);
maxflow += tp; //最大流增加
for(int i = tail - 1; i >= 0; --i)
{
//用最小的残余流量更新参与网络
//这里是倒着遍历每一条增广路中的边，，
//所以编号是由大到小，sta[i]是(u,v)那条弧的编号，sta[i] ^ 1是其反向弧的编号
//正向弧的流入流量加上tp
//反向弧的流入流量就是减去tp
edge[sta[i]].flow += tp;
edge[sta[i] ^ 1].flow -= tp;
//这条路的残余流量为零，经过这条路径的增广路不再存在
//增广路的尾边缩回到这个点
//并尝试寻找经过这个点的其他的增广路
if(edge[sta[i]].cap - edge[sta[i]].flow == 0)
tail = i;
}
//当前增广路的尾边回退到上一个点，，继续搜索其他的增广路
u = edge[sta[tail] ^ 1].to;
}
else if(~cur[u] &&
edge[cur[u]].cap > edge[cur[u]].flow &&
dep[u] + 1 == dep[edge[cur[u]].to])
{
//当这条边能到达、残余流量为正值并且u是v的上一层的点时
sta[tail++] = cur[u]; //增广路的点数tail++，并保存这条边到sta
u = edge[cur[u]].to; //更新u
}
else
{
//回退？？
//while(u != s && cur[u] == -1)
while(u != s && !(~cur[u]))
u = edge[sta[--tail] ^ 1].to;
cur[u] = edge[cur[u]].next;
}
}
}
return maxflow;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d%d " , &n , &np , &nc , &m) != EOF)
{
init();
while(m--)
{
scanf(" (%d,%d)%d" , &u , &v , &z); //输入前面有空格
++u;++v;
addedge(u , v , z);
}
while(np--)
{
scanf(" (%d)%d" , &u , &z);
++u;
addedge(0 , u , z); //超级源点
}
while(nc--)
{
scanf(" (%d)%d" , &u , &z);
++u;
addedge(u , n + 1 , z); //超级汇点
}
printf("%d\n" , dinic(0 , n + 1 , n + 1));
}
}
下一个就是sap,isap了吧，，，头疼ing
(end)
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