标签：strong 有一个 str 压缩 假设 没有 ext com 乘法
SVD奇异值分解
正交矩阵对应的行（列）向量都是相互正交的单位向量，且满足逆矩阵等于转置矩阵。
正交矩阵对应的变换为正交变换，正交变换映射表现为旋转和反射：
正交变换不改变向量的尺寸和夹角，如图，对应在正交坐标系基向量为[e1,e2]下的A为[a,b]，对应进行正交变换后，只是对A用另一组正交坐标基[e1‘,e2‘]表示，对应变换后的A为[a‘,b‘]，对向量A没有拉伸。这种变换为旋转变换。
正交变换对应有一组正交坐标基映射为另一组正交坐标基。
对应求得正交变换矩阵U：
由图可知：
所以U为：
设m*m矩阵A为对称矩阵，则A必能相似对角化，且不同特征值对应的特征向量相互正交：
可以得到A的特征值分解：
现在假设有一个x向量，用A对x进行变换：
也就是先对用UT对x进行正交变换，假设x在新的坐标系（坐标基为A的特征项向量）下为：
转变为：
接着对在新坐标系下的x进行拉伸和压缩，如果对应位置的特征向量为0，则发生维度退化，之后再用U进行正交变换，U是UT的逆变换，使又回到原来的坐标系下：
如果A是2*2矩阵，其特征向量对应矩形，其边，经过UT变换后，坐标基为矩形边所在的方向，在经过拉伸后，进行U变换，回到原来坐标系，这样经过变换后还是矩形。
奇异值分解就是对任意m*n矩阵，找到这样的一个正交坐标基，使其变换后还是正交坐标基。
假设m*n矩阵A，在n维空间中找到一组正交坐标基，使其经过A变换后还是正交坐标基。
假设正交坐标基为,vi是n*1向量：
经过A变换后：
同时保证变换后还是正交坐标基：
使vj使ATA的第j个特征向量的话：
又因为：
所以vj是ATA的第j个特征向量保证了变换后还是正交坐标基。
再将映射后的正交基单位化：
取单位向量：
由此可得：
再将{u1,u2,...，uk}扩展为{u1,u2,...,um}，使得其为m维空间的一组单位正交基。
再将{v1,v2,...,vk}扩展为{v1,v2,...,vn}，其中{vk+1,...vn}为AX=0的基础解系，对应的奇异值σ为0。
可得：
最后得A的奇异值分解：
定义：对于m×n的矩阵A，假设其秩rr，若存在秩同样为r两个矩阵：Fm×r（列满秩）和Gr×n（行满秩），使得A=FG，则称其为矩阵A的满秩分解。
任何一个非零矩阵都有满秩分解。
利用SVD进行满秩分解：
利用分块矩阵乘法得：
第二项为0：
令：
则A=XY即是A的满秩分解。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cold-city/p/10010477.html
