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题目大意

链接：CF960G

给定正整数\(n\)，表示有\(1\sim n\)个元素，求有多少种全排列满足：

从左往右按贪心原则去最大值，共取出\(a\)个元素；从右往左按贪心原则去最大值，共取出\(b\)个元素。

答案对\(998244353\)取模，数据满足\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a,b\leq n\)。

题目分析

我们先考虑一个递推做法。

设\(f(i,j)\)表示\(1\sim i\)，按贪心原则会取\(j\)个数的方案数。

若第\(i\)个数为\(i\)，则取的数一定会\(+1\)，对答案的贡献为\(f(i-1,j-1)\)。

若第\(i\)个数不为\(i\)，则取的数一定不变，对答案的贡献为\((i-1)\cdot f(i-1,j)\)。

由此，我们有了递推公式：
\[ f(i,j)=f(i-1,j-1)+(i-1)\cdot f(i-1,j)这是一个$O(n^2)$的式子，答案为 \]

这是一个\(O(n^2)\)的式子，答案为
\[ \sum_{i=1}^{n}C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i-1,a-1)\cdot f(n-i,b-1) \]

意思是，枚举最大值所在的位置\(i\)；

首先，需要把剩下的数分为两份，一份大小\(i-1\)，另一份大小为\(n-i\)，方案数为\(C_{n-1}^{i-1}\)。

前\(i-1\)个数需要按贪心原则取\(a-1\)个，方案数\(f(i-1,a-1)\);

后\(n-i\)个数需要按贪心原则取\(b-1\)个，方案数\(f(n-i,b-1)\)。

看着上面的递推公式，你有没有恍然大悟：欸，这不就是无符号的第一类Stirling数吗？？？？

所以，我们有
\[ \begin{split} ans&=\sum_{i=1}^{n}C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i-1,a-1)\cdot f(n-i,b-1)\&=\sum_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}\cdot \begin{bmatrix}i-1\\a-1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}n-i\\b-1\end{bmatrix}\cdot \binom{n-1}{i-1} \end{split} \]

此时，我们可以把对\(f\)的理解回归到无符号的第一类Stirling数上，即：

用\(i-1\)个数构成\(a-1\)个圆排列，用\(n-i\)个数构成\(b-1\)个圆排列的方案数。

整体来说，就是：用\(n-1\)个数构成\(a+b-2\)个圆排列，并把圆排列分为两部分，其中一部分大小为\(a-1\)的方案数，即：
\[ ans=\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\cdot \binom{a+b-2}{a-1} \]

对于\(\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\)，可以使用分治+NTT计算。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
    int ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
        x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
    }
    return ret;
} 
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
    int n=(1<<x);
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
        if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2); 
        for(int j=0;j<n;j+=tmp){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(K==-1){
        int inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
void Binary(int *a,int l,int r){
    if(l==r)return a[0]=l,a[1]=1,void();
    int mid=l+r>>1;
    int f[N],g[N];
    memset(f,0,(r-l+1)<<3),memset(g,0,(r-l+1)<<3); 
    Binary(f,l,mid),Binary(g,mid+1,r);
    int x=ceil(log2(r-l+2));
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
    
    NTT(f,x,1),NTT(g,x,1);
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(a,x,-1);
}
int C(int n,int m){
    if(n<m)return 0;
    int ans=1;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)ans=(LL)ans*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans=(LL)ans*ksm(i,mod-2)%mod;
    return ans;
}
int a[N];
int main(){
    int n=Getint()-1,A=Getint(),B=Getint();
    if(!n)cout<<(A==1&&B==1),exit(0);
    if(!A||!B)cout<<0,exit(0);

    Binary(a,0,n-1);
    cout<<(LL)a[A+B-2]*C(A+B-2,A-1)%mod;
    return 0;
}

Codeforces 960G Bandit Blues

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Emiya-wjk/p/10017662.html