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【数理统计学习】统计假设检验

时间:2018-11-27 10:11:16      阅读:265      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:就是   over   不同   sum   正数   错误   期望值   导致   样本   

统计假设检验可分为参数假设检验非参数假设检验两大部分。

总体分布形式已知,检验的目的是对总体的参数及其性质作出判断,则称这种检验为参数假设检验

总体分布形式未知,需对总体分布函数形式或总体之间的关系进行推断,则称为非参数假设检验

显著性检验:先提出假设,然后作出否定或者不否定的判断,称为显著性检验。

一、检验法则

有两个对立的假设,其中\(H_0\)称为原假设(零假设);\(H_1\)称为备择假设(对立假设)

要检验总体均值\(\mu\),实际上可转化为检验样本均值\(\overline{X}\),因为\(\overline{X}\)的观察值\(\overline{x}\)的大小在一定程度上反映了的\(\mu\)大小。如果\(H_0\)成立,则\(\mid \overline{x}-\mu_0 \mid\)一般不应太大,如果\(\mid \overline{x}-\mu_0 \mid\)过分大,则可怀疑\(H_0\)的正确性从而拒绝\(H_0\),反之则接受\(H_0\)

又考虑到当\(H_0\)成立时,统计量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ ~ $ N(0,1)$,这样衡量 \(\mid \overline{x} - \mu_0 \mid\) 的大小就可等价地归结为衡量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ 的大小,由此我们可选定一正数\(k\),使得当\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} \geq k\)时,就拒绝\(H_0\),当\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} < k\)时,就接受\(H_0\)

由于\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} ?\) ~ $ N(0,1)?$,根据标准正态分布分位点定义可得:
\[P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq k \mid H_0为真 \rbrace = P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}} \mid H_0为真 \rbrace = \alpha?\]

这样,我们就得到如下检验法则:

\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}}\),则拒绝\(H_0\)

\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} < u_{1-\frac{\alpha}{2}}\),则接受\(H_0\)

于是,$\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $就成了检验统计量。

当然,这只是讨论了正态总体参数的假设检验问题,对于其他假设检验,虽然检验统计量不同,但其检验法则、基本思路一样。

二、两类错误

(一)第I类错误

\(H_0\)为真时,我们却作出了拒绝\(H_0\)的判断,这个时候我们就犯了第I类错误,又称为“弃真”。即在原假设成立的情况下拒绝了原假设,从而把正确的内容当作错误的内容抛弃了。

犯第I类错误的概率为:\(P \lbrace 拒绝H_0 \mid H_0为真 \rbrace = \alpha\)

这里,\(\alpha\)为显著性水平。

(二)第II类错误

\(H_0\)不成立时,却接受\(H_0\)了,我们称这类错误为第II类错误,又称为“取伪”

犯第II类错误的概率为:\(P \lbrace 接受H_0 \mid H_0为假 \rbrace = \beta\)

现实中\(\alpha\)\(beta\)的值不可能同时小,也就是说,在样本容量给定的情况下,如果减少犯第I类错误的概率,就可能增加犯第II类错误的概率。由于第I类错误相对于第II类错误导致的后果更为严重,因此现实中的做法通常是对犯第I类错误的概率加以控制,然后再适当考虑犯第II类错误的概率。

我们把这种只对犯第I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第II类错误的检验问题,称为显著性检验问题

三、基本方法

参数假设检验通常采用\(\mu\)检验法、\(t\)检验法、\(F\)检验法、\(\chi^2\)检验法等

非参数假设检验通常采用皮尔逊拟合检验、魏氏检验、麦氏检验法

(一)参数假设检验法

参数假设检验法具体包括正态总体参数检验和非正态总体参数检验。

1、正态总体参数检验

对于正态总体,其参数无非是两个:\(\mu\)\(\sigma^2\)。如果加上两个正态总体的参数一块比较,也只有四种情形:①关于\(\mu\)的检验;②关于\(\sigma^2\)的检验;③关于\(\mu_1-\mu_2\)的检验;④关于\(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)的检验。

(1)\(\mu\)检验

\(\mu\)检验适用于在方差已知的情况下,对期望值\(\mu\)的检验(包括单总体和多总体)。

a.在单个正态总体情况下,适用检验统计量:

\(\mu = \frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}}\)~\(N(0,1)\)

b.在两个正态总体情况下,设\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\),为出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)的样本,\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)为出自\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的样本,\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)已知,且样本之间相互独立。则适用统计量为:

\(\mu = \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\) ~ \(N(0,1)\)

另外,对总体百分数的检验一般也采用检验法进行,其适用统计量为:

\[\mu = \frac{p_x-p_{\mu}}{\sqrt{\frac{p_{\mu}(1-p_{\mu})}{n}}}\]

其中,\(p_x\)为样本百分数,\(p_{\mu}\)为总体百分数。

(2)\(t\)检验

\(t\)检验适用于当方差未知时对期望值\(\mu\)的检验。总体可以是单总体,也可以是双总体。但如果是双总体,它们之间的样本必须是独立的。

a.对于单总体,适用检验统计量为:
\(t= \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t(n-1)\)
b.对于双总体,可分为两种情况进行讨论。

第一种情况是,\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知,但\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)。此时可选择检验统计量:
\(t= \frac{\overline{x} -\overline{y}}{s_{\omega} \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)~\(t(n_1+n_2-2)\)

第二种情况是,\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知,但\(n_1=n_2=n\)。此时可考虑采用配对检验法,具体方法如下:

令:\(d_i=x_i-y_i(i=1,2,\ldots,n)\),并假定\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)分别是来自正态总体\(N(\mu_d,\sigma^2)\)的样本。\(\mu_d,\sigma^2\)均未知,\(\overline{d}\)\(s^2\)分别是\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)的样本均值和样本方差。若进行双边检验,可令\(H_0:\mu_d=0,H_1:\mu_d \neq 0\)

此时可选择\(t= \frac{\overline{d}-0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)作为检验统计量,其拒绝域为:
\[c_1= \lbrace t \mid \mid t \mid \geq t_{1-\alpha}(n-1) \rbrace\]

(3)\(\chi^2\)检验

\(\chi^2\)检验主要用于对方差\(\sigma^2\)的检验,且适用于单参数情形

a.\(\mu\)未知

\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)\(N(\mu,\sigma^2)\)的一个样本,考虑假设:
\(H_0:\sigma^2 = \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2\)
\(H_0:\sigma^2 \leq \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 > sigma_0^2\)
适用检验统计量为:
\(\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n-1)\)

b.\(\mu\)已知

适用于检验统计量为:

\(\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n)\)

(4)\(F\)检验

\(F\)检验也是用于对方差的检验,不同的是,\(F\)检验往往用于两参数情形

\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\)\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)分别为出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的样本,且样本之间独立。考虑假设:
\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1:\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)
\(H_0:\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2\)

适用检验统计量为:
\(F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\)~\(F(n_1-1,n_2-1)\)

2、非正态总体参数检验

非正态总体的抽样分布不易求出,求检验统计量及其分布就很困难了,因此除一些特殊例子外,非正态总体参数的假设检验常采用大样本方法。大样本一般要求\(n \geq 30\),最好\(n \geq 50\)

\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)是总体\(X\)的样本,\(X\)~\(N(\mu,\sigma^2 )\)\(n\)足够大。要检验的假设有:

(1)\(H_0:\mu=\mu_0, H_1:\mu \neq \mu_0\)

(2)\(H_0:\mu \geq \mu_0, H_1:\mu < \mu_0\)

(3)\(H_0:\mu \leq \mu_0, H_1:\mu > \mu_0\)

由于\(X\)不是正态分布,故求出其检验统计量及其分布比较困难,但当\(n\)足够大且\(H_0\)成立时,根据中心极限定理,有:
\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

在具体选择检验统计量时,可分两种情况讨论:

(1)\(\sigma^2\)已知时,可选择检验统计量:

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

(2)\(\sigma^2\)未知时,可选择检验统计量:

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

(二)非参数检验法

1、皮尔逊\(\chi^2\)拟合检验法

2、魏氏(Wilcoxon)检验

3、麦氏(McNehmar)检验

参考文献:
[1] 《统计学》第二版. 2010. 游士兵

【数理统计学习】统计假设检验

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原文地址:https://www.cnblogs.com/IvyWong/p/10024136.html

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