标签：网络 简单 inline 之间 swa 城市规划 reg 意思 string
刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.
刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通.
为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.
好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.
由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.
仅一行一个整数n(<=130000)
仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.
3
4
4
38
100000
829847355
对于 20%的数据, n <= 10
对于 40%的数据, n <= 1000
对于 60%的数据, n <= 30000
对于 80%的数据, n <= 60000
对于 100%的数据, n <= 130000
设\(f(n)\)表示\(n\)个城市的可行的方案数，则有
\[
f(n)=2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i)\cdot2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}
\]
意思是：总情况\(2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}\)减去不成立的情况。
不成立的情况可以理解为：
枚举节点1所在的联通块大小\(i\)，有\(C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i)\)种情况满足；
剩下的\((n-i)\)个节点随意连边，有\(2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}2}\)中情况。
所以，不成立的情况总计为
\[
\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i)\cdot2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}
\]
现在，我们需要加速这个算法，将递推式继续化简。
\[
\begin{split}
f(n)&=2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}\cdot f(i)\cdot2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}\&=2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(i-1)!\cdot (n-i)!}\cdot f(i)\cdot2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}\&=2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}-\sum_{i=1}^{n-1}(n-1)!\cdot \frac{f(i)}{(i-1)!}\cdot\frac{2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}}{(n-i)!}\\frac {f(n)}{(n-1)!}&=\frac{2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}}{(n-1)!}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f(i)}{(i-1)!}\cdot\frac{2^{\frac{(n-i)\cdot(n-i-1)}{2}}}{(n-i)!}\\end{split}
\]
设\(g(i)=\frac {f(i)}{(i-1)!},h(i)=\frac{2^\frac{i\cdot(i-1)}{2}}{i!}\)，有
\[
\begin{split}
g(n)\cdot h(0)&=\frac{2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}}{(n-1)!}-\sum_{i=1}^{n-1}g(i)\cdot h(n-i)\移项得\\frac{2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}}{(n-1)!}&=\sum_{i=1}^{n}g(i)\cdot h(n-i)
\end{split}
\]
设\(F(n)=\frac{2^{\frac{n\cdot(n-1)}2}}{(n-1)!}\)，现在，这就是一个卷积的形式：
\[
\begin{split}
F(n)&=\sum_{i=1}^{n}g(i)\cdot h(n-i)\F&=g*h\g&=F*h^{-1}
\end{split}
\]
然后问题就转化为了多项式求逆。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=550005,mod=1004535809;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
int ret=1;
while(k){
if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
}
return ret;
}
void NTT(int *a,int x,int K){
static int rev[N],lst;
int n=1<<x;
if(n!=lst){
for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
lst=n;
}
for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
for(int j=0;j<n;j+=tmp){
int w=1;
for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(K==-1){
int inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
}
}
void Inv(int *f,int *g,int len){
static int A[N];
if(len==1)return g[0]=ksm(f[0],mod-2),void();
Inv(f,g,len>>1),copy(f,f+len,A);
int x=log2(len<<1),n=1<<x;
fill(A+len,A+n,0),fill(g+(len>>1),g+n,0);
NTT(A,x,1),NTT(g,x,1);
for(int i=0;i<n;i++)g[i]=(mod+2-(LL)A[i]*g[i]%mod)*g[i]%mod;
NTT(g,x,-1),fill(g+len,g+n,0);
}
int a[N],b[N],c[N];
int fac[N];
int main(){
int n=Getint();
fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
b[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=ksm(2,(LL)i*(i-1)/2%(mod-1));
a[i]=(LL)x*ksm(fac[i-1],mod-2)%mod;
b[i]=(LL)x*ksm(fac[i],mod-2)%mod;
}
int x=ceil(log2(n<<1|1));
Inv(b,c,1<<x);
NTT(a,x,1),NTT(c,x,1);
for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)a[i]*c[i]%mod;
NTT(a,x,-1);
cout<<(LL)a[n]*fac[n-1]%mod;
return 0;
}标签：网络 简单 inline 之间 swa 城市规划 reg 意思 string
原文地址：https://www.cnblogs.com/Emiya-wjk/p/10028051.html
