标签：概率dp
概率：
有t个队伍，m道题，给出每个队伍做出每道题的概率。求出每个队伍至少做出一道题并且冠军队伍至少做出n道题的概率。
每个队伍至少做出一道题的对立事件是每队至多做出0道题，所以需要求出每对做出0道的概率。
冠军队伍至少做出n道题的概率的对立事件是所有队最多做出n-1道，所以需要记录每个队最多做出x道的概率。
那么可以设s[i][j]表示i队最多做出j道题的概率。那么还需要用dp[i][j][k]表示第i队在前j道题中做出k道题的概率。
找出对立事件就简单了。
有n个雷，某人的起始位置在1，每次走一步的概率为p,走两步的概率是1-p,给出n个雷的位置，问最后成功走出雷区的概率。
成功走出雷区说明每个雷区都没有踩到，那么只需求出每个雷区都没踩到的概率相乘。没踩到第i个雷区的概率是1-踩到第i个雷区的概率。可以将雷区分段1~num[1],num[1]+1~num[2]......每一段都只有一个雷num[i]，每一段都是和第一段相同，dp[i]表示在i点的概率，那么dp[i] = dp[i-1]*p + dp[i-2]*(1-p)。特别注意这里的i是每一段的起始位置，每一段的第一个位置是一定要走的，dp【1】 = 1。
也是一道概率，不过需要逆推，准确找出状态的转移。
设有i只白鼠j只黑鼠的状态下王妃获胜的概率是dp[i][j]，这种状态可由一下三种状态得到：
王妃第一次就取得一只白鼠获胜，概率为i/(i+j)；
王妃没有取到白鼠，取黑鼠的概率是j/(i+j)，若王妃要赢，下次龙一定取黑鼠，概率为(j-1)/(i+j-1)，同时跑掉的是黑鼠，概率为(j-2)/(i+j-2)，状态转移到dp[i][j-3];
王妃没有取到白鼠，取黑鼠的概率是j/(i+j)，若王妃要赢，下次龙一定取黑鼠，概率为(j-1)/(i+j-1)，同时跑掉的是白鼠，概率为i/(i+j-2)，状态转移到dp[i-1][j-2];
期望：
一个骰子有n个面，每个面上都有相应钱数，当掷到其中m个面上时就会增加一次机会。问最后得到钱数的期望。
这个题想复杂了，不知道终态怎么确定。其实只需要考虑投掷一次的情况，投掷一次的期望是p = sum/n，但是若投掷到m个面中的一个，就会又多一次机会，第二次投掷的情况和第一次是完全相同的，那么投掷第二次的期望就是m/n*p，依次类推，投掷N次的期望就是(m/n)^(N-1)*p。这些期望之和就是答案，可以看出N项是等比数列，极限求和。
poj 2096 期望入门题
程序的bug有n个子集，s个种类。每一个bug属于每个子集的概率为1/n，每一个bug属于每个种类的概率为1/s，问每个子集且每个种类都有bug的期望。
列出状态转移方程就就解决了。
求从【1,1】到【r,c】的所花power的期望，每走一步消耗的power是2，给出从[i,j]到[i,j]，[i,j+1]，[i+1][j]概率。
也是简单的期望，逆推即可。特别注意在原点不动的概率为1时，根本走不到【r,c】。
有n+1个点，0~n ，某人现在站在x处，若x处有flight lines，他就能飞到相应点而不用掷骰子，否则就向前走掷出的骰子上的数字。问他从0点到达n点需要投掷骰子的平均次数。
有N种卡片，每一袋零食里面最多有一张卡片，给出一袋零食里面每种卡片的概率，问平均要买多少袋零食能收集到所有的卡片。
N <= 20,状态压缩一下，确定终态dp[(1<<n)-1] = 0，特别注意p1+p2+...+pN<=1，说明一袋零食中会有一张卡片也没有的情况。
状态压缩一下，共有1<<n-1个状态，设dp[sta]表示当前状态到目标状态平均买的零食数目，已知终态dp[1<<n-1] = 0，dp[sta]可由一下状态得到：
这一袋零食里没有卡片，概率为p(没有一张卡片的概率)，状态转移到sta；
这一袋零食里面有卡片j，但是他已经拥有这种卡片，概率是a[j]，状态转移到sta；
这一袋零食里面有卡片j，且是以前没有过的，概率是a[j]，状态转移到sta | ( 1 << j )
zoj 3640类似的题型。有一个吸血鬼被困了，有n条路可以逃出去，每条路有一个难度c[],他初始的战斗力是f，对于第i条路，若f > c[i]他花t[i]天就能出去，否则，他就停留一天，同时战斗力增加c[i]然后再选一条路走出去，他走每条路的概率是相同的。问他逃出去的天数的期望。
设dp[i]表示在战斗力为i时逃出去的期望值，那么可推出状态方程 dp[i] = 1/n * t[j]（c[j] > i），dp[i] = 1/n * (1+dp[ i+c[j] ] )( c[j] <= i)。易忽略的点是终态的确定，应该是MAX*2。因为i+c[j]很有可能大于MAX。
很好的题目。有3个骰子，分别有a,b,c个面，每个面等概率。当前状态i,当三个面分别掷出k1,k2,k3时回到状态0，否则到达状态i+k1+k2+k3，问投掷出>=n时投掷的次数的期望，状态转移方程很好推，dp[i]=p0*dp[0]+pk*dp[i+k]，仔细分析这个等式与上面的等式有所不同，它含有要求的量dp[0]，出现了环。发现每个等式都可以用dp[0]表示出来，那么设dp[i]=A[i]*dp[0]+B[i],带入上式可以得到A[i]和B[i]的递推式，那么由A[0]和B[0]就能求出dp[0]。
标签：概率dp
原文地址：http://blog.csdn.net/u013081425/article/details/40049835
