『素数(Prime)判定和线性欧拉筛法(The sieve of Euler)』

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<正文>

素数(Prime)及判定

定义

素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数，否则称为合数。

1既不是素数也不是合数。

判定

如何判定一个数是否是素数呢？显然，我们可以枚举这个数的因数，如果存在除了它本身和1以外的因数，那么这个数就是素数。
在枚举时，有一个很简单的优化：一个合数\(n\)必有一个小于等于\(\sqrt{n}\)的因数。
证明如下：
假设一个合数\(n\)没有小于等于\(\sqrt{n}\)的因数。
由于\(n\)为合数，所以除了\(n\)与\(1\)以外，它至少还有两个因数\(p_1(p_1>\sqrt{n})\)和\(p_2(p_2>\sqrt{n})\)，满足\(p_1p_2=n\)。
与\(p_1>\sqrt{n},p_2>\sqrt{n}\)矛盾，故假设不成立。

所以我们得到了\(O(\sqrt n)\)效率的素数判定算法。

\(Code:\)

inline bool check(k)
{
    for(int i=2;i*i<=k;i++)
    if(k%i==0)return 0;
    return 1;
}

筛法(Sieve)求素数

现在有一个新的问题模型，如果我们需要求解\(1-n\)的所有素数，那么直接用判定法效率显然太低了。我们需要更高效率的算法，由此我们引入筛法。

埃氏筛法(The sieve of Eratosthenes)

这是筛法思想的基本模型。根据算数基本定理，我们得知：
\[k=p_1^{a_1}·p_2^{a_2}·...·p_k^{a_k}\]
即任意一个数\(k\)都是由若干素数相乘得到的。
那么我们可以枚举\(2-n\)的每一个数，如果这个数没被标记，则说明这个数是素数，记录这个数，并标记这个数的所有倍数不是素数。
那么这样就可以求解\(1-n\)的所有素数了。时间复杂度为\(O(n\ ln(ln\ n))\)。

实现

这就是OI竞赛中最常用的素数求解算法了，实现也非常简单。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void sieve(void)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;else continue;
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)flag[j]=true;
    }
}
int main(void)
{
    cin>>n;
    sieve();
    for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

欧拉筛法(The sieve of Euler)

欧拉筛法就是基于埃氏筛法的优化。
在模拟埃氏筛法的过程中，我们不难发现有很多合数会被它的各个素因子筛好几次，我们可以基于这种情况进行优化：每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数
所以，我们直接利用之前求出的素数进行筛数，如果发现当前这个数已经是之前某个素数的倍数时，那就说明这个数在以后会由某个更大的数乘以这个小素数筛去，同理，之后的筛数也是没有必要的，这时候就可以跳出循环了。
这样，我们就能保证每一个数只被筛一次，就实现了线性时间复杂度的筛法。

实现

欧拉筛法和埃氏筛法大体相似，但细节有所不同，注意不要搞混。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void seive(void)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;
        //注意，这里没了continue,因为在筛某个数时需要用到它的最大因数，而这个数可能是个合数，所以不管是素数还是合数，都要执行以下的筛数过程
        for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            flag[i*Prime[j]]=1;
            if(i%Prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    cin>>n;
    seive();
    for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

<后记>