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1.?概述

\(\quad\)那么开始第二期，介绍凸锥和常见的集合，这期比较短(因为公式打得太累了)，介绍凸集和凸锥与仿射集的意义在哪呢，为的就是将很多非凸集合转化为凸集的手段，其中，又以凸包（包裹集合所有点的最小凸集）为最常用的手段，在细节一点，闭凸包（闭合的凸包）是更常用的手段。

2.?凸锥（convex cone）：

2.1 定义

（1）锥（cone）定义：对于集合\(C\subseteq{R^n},\forall x \in C,\theta \ge0,有\theta x \subseteq C\)则x构成的集合称为锥。说明一下，锥不一定是连续的（可以是数条过原点的射线的集合）。

（2）凸锥（convex cone）定义：凸锥包含了集合内点的所有凸锥组合。若\(C\subseteq{R^n}\),\(x_1,x_2...x_n\in C,\theta_i\ge0\)，则\(\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}\)也属于凸锥集合C。这里说明一下，就是说一个集合既是凸集又是锥，那么就是凸锥（废话）。

（3）凸锥包（convex cone hull）定义：凸锥包是包含C的最小的凸锥，假设$ x_1,x_2...x_n\in C\(，凸锥包表示为：\)\(\{\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}|x_1,x_2...x_n\in C，\theta_i\ge0\}\)$

3. 常用凸集

3.1 常用集合

以上是比较简单的集合，接下来来看看稍微复杂的常用集合。

（1）超平面：\(\{x|a^{T}x=b,x\in R^n,b\in R,a\in R^n\}\)，其中a和x为n维向量，b为常数。解释一下就是，想想初中学的直线为\(kx-y=-b\),高中学的平面为\(Ax+By+Cz=-D\)。拓展到n维空间就是超平面啦。超平面是凸集、仿射集，只有在过原点的时候是个凸锥。

（2）球：\(B（x_c,r）=\{x||x-x_c||_2\le r\}\),即点到圆心的距离的二范数小于半径的点构成的集合。那么解释一下二范数的求法：\(||A||_2=\sqrt{A^T A}\)。球是凸集、当是个点的时候是仿射集、凸锥。

（3）椭球：\(B（x_c,P）=\{x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\le 1,P\in S^{n}_{++}\}\),其中P为正定对称矩阵，正定就是其特征值全大于0.相关概念不再赘述。同理，椭球是凸集，当是个点的时候是仿射集、凸锥。

（4）多面体（polyhedron）：\(P=\{a_j^Tx\le b_j,c_i^Tx= d_j\}\)，多面体由半空间与超平面的交集组成。依旧是凸集。

（5）单纯形（simplex）：特殊多面体，\(R^n空间中选择v_0...v_k共k+1个点，满足v_1-v_0,...v_k-v_0线性无关\)则构成单纯形为\(C=conv\{v_0...v_k\}=\{\theta_0v_0+...+\theta_kv_k,\theta\ge0,1^T\theta=1\}\)。看起来比较绕，其实想想就明白了，就是找两两组合起来构成的线不平行的点，然后找这些点的凸包集合。当然有一种情况需要说明，就是在\(R^n\)空间中，由于无法找到n+1个向量线性无关，所以点也是有个数限制的。即不超过n+2个。举个例子，就是二维空间中，不存在四边形的单纯形，三维空间没有五面体的单纯形。

（6）这里开始介绍三个不太能想像出具体形式的集合，对称矩阵集合\(S^n=\{x\in R^n_n|x=x^T\}\)，是凸锥。

（7）对称半正定矩阵集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x半正定\}\)来简单证明一下它是凸锥，半正定矩阵有个特点，假设半正定矩阵A，则有\(\forall x\in R^n，x^TAx\ge 0\),那么证明开始，有两个矩阵A、B集合在C中，满足\(x^TAx\ge 0,x^TBx\ge 0\)则\[x^T\theta_1Ax+x^T\theta_2Bx=x^T(\theta_1A+\theta_2B)x\ge0\tag{1}\]显然成立，得到\(\theta_1A+\theta_2B\)仍在集合C中，得证。

（7）对称正定矩阵集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x正定\}\)，（其实表示正定有个数学符号，表示其特征值大于0,和大于号很像，但是markdown我不会打那个符号），不是凸锥！，具体看（6）的证明，这里（1）式依旧成立，但是无法满足大于0,因为当两个\(\theta\)参数为0时就会有等于0的情况。反例也可以找到，当n=1时，此矩阵集合则变为了\(S^1_{++}=R_{++}\)显然不包含原点，则不是凸锥。

那么这次写到这里，下次介绍啥呢（其实我想跳一跳的）。

凸优化（二）凸锥与常见凸集

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