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写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

　　整理自网络

　　非原创部分会标明出处

结论

证明

 　　(某一种证法)

　　将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）

　　我们考虑这么一些数：

　　m₁ == a*x₁　　m₂ == a*x₂　　m₃ == a*x₃　　……　　m_φ(n) == a*x_φ(n)

　　1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有m_S ≡ m_R (MOD n) (这里假定m_S更大一些)，就有：

　　m_S - m_R == a(x_S - x_R) == q_n，即n能整除a(x_S - x_R)

　　但是a与n互质，而x_S - x_R<n，因而左式不可能被n整除

　　也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数

——bia度百科

拓展

• 简化幂的模运算

　　如计算7²²²的个位数，实际是求7²²²被10除的余数

　　7和10互素，且φ(10)=4

　　由欧拉定理知7⁴ Ξ 1 (MOD 10)

　　所以7²²² == (7⁴)⁵⁵ * (7²) Ξ 1⁵⁵ * 7² Ξ 49 Ξ 9 (mod 10)

 ——bia度百科

【数学】【数论】初探欧拉定理

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Antigonae/p/10125510.html