莫比乌斯反演

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这里还是口胡，dalao和萌新请绕道。

总体来说，就是$\sum$来回导的问题。

主要需要注意一点，那就是在交换$\sum$时对于任意一个元素，枚举次数不能改变。

最重要的式子：

${\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}\varepsilon(gcd(i,j))$

$={\sum_{i=1}^{N}}{\sum_{j=1}^{M}}{\sum_{d|gcd(i,j)}}{\mu (d)}$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\sum_{d|i}^{N}}{\sum_{d|j}^{M}}{\mu(d)}$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{d|i}^{N}}1{\sum_{d|j}^{M}}1$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\frac{N}{d}} \right \rfloor}}1{\sum_{j=1}^{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}}1$

$={\sum_{d=1}^{min(N,M)}}{\mu(d)}{\left\lfloor{\frac{N}{d}}\right\rfloor}{\left\lfloor{\frac{M}{d}}\right\rfloor}$

第二个就是整除分块

${\sum_{i=1}^{N}{\left\lfloor{\frac{N}{i}}\right\rfloor}}$一共有$\sqrt{N}$种取值

其中每个取值的结尾为$\left \lfloor {\frac{N}{\left \lfloor {\frac{N}{i}} \right \rfloor}} \right \rfloor$

可以配其他数论函数前缀和使用。

莫比乌斯反演

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原文地址：https://www.cnblogs.com/blog-Dr-J/p/10161185.html