『数论』乘法逆元

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在求解除法取模问题\((a \div b) \mod m\)时，我们可以转化为\([a \mod (b \times m)]\div b\)

但是如果\(b\)很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。

可以使用逆元将除法转换为乘法：假设\(b\)存在乘法逆元，即与\(m\)互质（充要条件）。

设\(c\)是\(b\)的逆元，即\(b \times c≡1(\mod m)\)

那么有\(a\div b=(a\div b)\times 1=(a\div b)\times b\times c=a\times c(\mod m)\)

即除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模

• 逆元求解一般利用扩欧。
• 当\(m\)为质数的时候直接使用费马小定理，\(m\)非质数使用欧拉函数。
• 当\(m\)为质数的时候，神奇的线性方法。

扩展欧几里得算法

要求\(a,m\)互素，存在唯一解。

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    int d=a;
    if (b!=0) {
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else {
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m+x%m)%m;
}

费马小定理

在\(p\)是素数的情况下，对任意整数\(x\)都有\(x^{p}≡x(\mod p)\)。

如果\(x\)无法被\(p\)整除，则有\(x^{p}-1≡1(\mod p)\)。

可以在\(p\)为素数的情况下求出一个数的逆元，\(x \times x^{p}-2≡1(\mod p)\)，\(x^{p}-2\)即为\(x\)的逆元。

LL mul(LL a, LL n) {//求a ^ n % mod
    LL s=1;
    while (n) {
        if (n&1) s=s*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return s;
}
//mul(a, n-2);

欧拉函数

令\(\phi(m)\)表示小于等于\(m\)且与\(m\)互素的正整数的个数。

如果\(x\)和\(m\)互质，则有\(x\phi (m)≡1(\mod m)\)，即\(x\times x\phi (m)-1≡1(\mod m)\)，\(x^{\phi(m)-1}\)为\(x\)的逆元。

在\(m\)为质数的情况下，\(\phi (m)=m-1\)，即为费马小定理。

思路：

求出欧拉函数的值，利用欧拉函数的积性性质：

对于任意整数\(n\)，可以将它分解\(n=p_{k1} \times p_{k2} \times p_{k3} \times \cdots \times p_{km}\)，其中\(p_{i}\)为质数，\(\phi(n)=\phi(p_{k1}) \times \phi(p_{k2})\times \cdots \phi(p_{km})\)

最后转化为\(\phi(n)=n \times \prod(p_{i}-1) \div p_{i}\)

对给定\(n\)进行整数分解，时间复杂度\(O(n)?\)。

int eurler_phi(int n) {
    int res=n;
    for (int i=2; i*i<=n; i++) {
        if (n%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while (n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if (n!=1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}

埃氏筛法求欧拉函数值的表，每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上\((p-1)\times p\)。

当\(n\)为奇数时，有\(\phi(2\times n)=\phi(n)\)

因为\(2\times n\)是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑\(2n\) 与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于\(n\)的欧拉函数值。

int euler[maxn];
void euler_phi2() {
    for (int i=0; i<maxn; i++)
        euler[i]=i;
    for (int i=2; i<maxn; i++)
        if (euler[i]==i)
            for (int j=i; j<maxn; j+=i)
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}

线性时间求所有逆元

规定\(p\)为质数，且\(1^{-1}≡1(\mod p)\)

设\(p=k\times a+b(b<a,1<a<p)\)，即\(k\times a+b≡0(\mod p)\)

两边同时乘以\(a^{-1}\times b^{-1}\)，得到

\(k\times b^{-1}+a^{-1}≡0(\mod p)\)

\(a^{-1}≡-k\times b-1(\mod p)\)

\(a^{-1}≡-p\div a×(p\mod a)^{-1}(\mod p)\)

从头开始扫一遍即可，时间复杂度\(O(n)\)。

int inv[maxn];
inv[1]=1;
for (int i=2; i<maxn; i++)
    inv[i]=(p-p/i)%p*inv[p%i];

『数论』乘法逆元

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