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线性回归是一种较为简单，但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法，是深入了解线性回归的基本要求。除此之外，线性回归也是监督学习回归部分的基石，希望您能通过本次实验掌握机器学习的一些重要的思想。
在上一个「监督学习介绍」的实验中，我们了解了分类和回归问题的区别。也就是说，回归问题旨在实现对连续值的预测，例如股票的价格、房价的趋势等。比如，下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。
如上图所示，不同的房屋面积对应着不同的价格。现在，假设我手中有一套房屋想要出售，而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是，我想通过上图，也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢？
我采用的方法是这样的。如下图所示，首先画了一条红色的直线，让其大致验证橙色点分布的延伸趋势。然后，我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上，也就是蓝色点所在位置。最后，再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。
在上图呈现的这个过程中，通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程，就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系，也就是图中所绘制的红色直线。
此时，你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢？为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线，而偏偏要选择红色直线呢？
上图中的绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以，找到最适合的那一条红色直线，也是线性回归中需要解决的重要问题之一。
通过上面这个小例子，相信你对线性回归已经有一点点印象了，至少大致明白它能做什么。接下来的内容中，我们将了解线性回归背后的数学原理，以及使用 Python 代码对其实现。
上面针对线性回归的介绍内容中，我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中，房屋面积为自变量，而房价则为因变量。另外，我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。
下面，我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。x 为房屋面积，单位是平方米; y 为房价，单位是万元。
import numpy as np
x = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])
y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])
?
示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来，通过 Matplotlib 绘制数据点，x, y 分别对应着横坐标和纵坐标。
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(x, y)
plt.xlabel("Area")
plt.ylabel("Price")
?
正如上面所说，线性回归即通过线性方程（1 次函数）去拟合数据点。那么，我们令函数的表达式为：
公式（1）是典型的一元一次函数表达式，我们通过组合不同的 w0w0 和 w1w1 的值得到不同的拟合直线。我们对公式（1）进行代码实现：
def f(x, w0, w1):
y = w0 + w1 * x
return y
那么，哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢？
想要找出对数据集拟合效果最好的直线，这里再拿出上小节图示进行说明。如下图所示，当我们使用 y(x,w)=w0+w1xy(x,w)=w0+w1x 对数据进行拟合时，我们能得到拟合的整体误差，即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小，是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢？
正如上面所说，如果一个数据点为 (xi, yi)，那么它对应的误差就为:
上面的误差往往也称之为残差。但是在机器学习中，我们更喜欢称作「损失」，即真实值和预测值之间的偏离程度。那么，对应 n 个全部数据点而言，其对应的残差损失总和就为：
在线性回归中，我们使用残差的平方和来表示所有样本点的误差。公式如下：
对于公式（4）而言，机器学习中有一个专门的名词，那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 w0 和 w1 最优的数值，我们的目标就是让公式（4）对应的平方损失函数最小。
同样，我们可以对公式（4）进行代码实现：
def square_loss(x, y, w0, w1):
loss = sum(np.square(y - (w0 + w1*x)))
return loss
?
最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 w 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方，最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。
简单来讲，最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么，到底该怎样求解呢？这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下：
首先，平方损失函数为：
我们的目标是求取平方损失函数 min(f) 最小时，对应的w。首先求 f 的 1 阶偏导数：
然后，我们令 ?f?w0=0?f?w0=0 以及 ?f?w1=0?f?w1=0，解得：
到目前为止，已经求出了平方损失函数最小时对应的 ww 参数值，这也就是最佳拟合直线。
我们将公式（7）求解得到 ww 的过程进行代码实现：
def w_calculator(x, y):
n = len(x)
w1 = (n*sum(x*y) - sum(x)*sum(y))/(n*sum(x*x) - sum(x)*sum(x))
w0 = (sum(x*x)*sum(y) - sum(x)*sum(x*y))/(n*sum(x*x)-sum(x)*sum(x))
return w0, w1
于是，可以向函数 w_calculator(x, y) 中传入 x 和 y 得到 w0w0 和 w1w1 的值。
w_calculator(x, y)
当然，我们也可以求得此时对应的平方损失的值：
w0 = w_calculator(x, y)[0]
w1 = w_calculator(x, y)[1]
square_loss(x, y, w0, w1)
接下来，我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中：
x_temp = np.linspace(50,120,100) # 绘制直线生成的临时点
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_temp, x_temp*w1 + w0, ‘r‘)
从上图可以看出，拟合的效果还是不错的。那么，如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖，获得预估报价就只需要带入方程即可：
f(150, w0, w1)
这里得到的预估售价约为 154 万元。
上面的内容中，我们学习了什么是最小二乘法，以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么，我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢？
使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类。看一下其中的参数：
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True,normalize=False,copy_X=True,n_jobs=1)
其中：
fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1，若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。"""scikit-learn 线性回归拟合
"""
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 定义线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(x.reshape(len(x),1) , y) # 训练, reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状
# 得到模型拟合参数
model.intercept_, model.coef_
我们通过 model.intercept_ 得到拟合的截距项，即上面的 w0w0，通过 model.coef_ 得到 xx 的系数，即上面的 w1w1。对比发现，结果是完全一致的。
同样，我们可以预测 150 平米房产的价格：
model.predict([[150]])
可以看到，这里得出的结果和自行实现计算结果一致。
学习完上面的内容，相信你已经了解了什么是最小二乘法，以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面，实验采用了求偏导数的方法，并通过代数求解找到了最佳拟合参数 w 的值。
这里，我们尝试另外一种方法，即通过矩阵的变换来计算参数 w 。推导如下：
首先，一元线性函数的表达式为 y(x,w)=w0+w1x，表达成矩阵形式为：
*矩阵求导是超纲内容，如果有兴趣可以 自行阅读学习。
我们可以针对公式（11）进行代码实现：
def w_matrix(x, y):
w = (x.T * x).I * x.T * y
return w
我们针对原 x 数据添加截距项系数 1。
x = np.matrix([[1,56],[1,72],[1,69],[1,88],[1,102],[1,86],[1,76],[1,79],[1,94],[1,74]])
y = np.matrix([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])
w_matrix(x, y.reshape(10,1))
可以看到，矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问，那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算？一开始学习的代数计算方法不好吗？
其实，并不是说代数计算方式不好，在小数据集下二者运算效率接近。但是，当我们面对十万或百万规模的数据时，矩阵计算的效率就会高很多，这就是为什么要学习矩阵计算的原因。
目前，你已经学习了如何使用最小二乘法进行线性回归拟合，以及通过代数计算和矩阵变换两种方式计算拟合系数 ww，这已经达到了掌握线性回归方法的要求。在这个小节中，我们将尝试加载一个真实数据集，并使用 scikit-learn 构建预测模型，实现回归预测。
既然前面的 2 个小节中，都使用了和房价相关的示例数据。这里，我们就采用一个真实的房价数据集，也就是「波士顿房价数据集」。
波士顿房价数据集是机器学习中非常知名的数据集，它被用于多篇回归算法研究的学术论文中。该数据集共计 506 条，其中包含有 13 个与房价相关的特征以及 1 个目标值（房价）。
首先，我们使用 Pandas 加载并预览数据集。数据集名称为 course-5-boston.csv。
# 运行并下载数据集
!wget -nc http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1081/course-5-boston.csv
import pandas as pd
df = pd.read_csv("course-5-boston.csv")
?
查看 DataFrame 前 5 行数据。
df.head()
该数据集统计了波士顿地区各城镇的住房价格中位数，以及与之相关的特征。每列数据的列名解释如下：
CRIM: 城镇犯罪率。ZN: 占地面积超过 2.5 万平方英尺的住宅用地比例。INDUS: 城镇非零售业务地区的比例。CHAS: 查尔斯河是否经过 (=1 经过，=0 不经过)。NOX: 一氧化氮浓度（每 1000 万份）。RM: 住宅平均房间数。AGE: 所有者年龄。DIS: 与就业中心的距离。RAD: 公路可达性指数。TAX: 物业税率。PTRATIO: 城镇师生比例。BLACK: 城镇的黑人指数。LSTAT: 人口中地位较低人群的百分数。MEDV: 城镇住房价格中位数。本次实验中，我们不会使用到全部的数据特征。这里，仅选取 CRIM, RM, LSTAT 三个特征用于线性回归模型训练。我们将这三个特征的数据单独拿出来，并且使用 describe() 方法查看其描述信息。 describe() 统计了每列数据的个数、最大值、最小值、平均数等信息。
features = df[[‘crim‘, ‘rm‘, ‘lstat‘]]
features.describe()
同样，我们将目标值单独拿出来。训练一个机器学习预测模型时，我们通常会将数据集划分为 70% 和 30% 两部分。
其中，70% 的部分被称之为训练集，用于模型训练。例如，这里的线性回归，就是从训练集中找到最佳拟合参数 ww 的值。另外的 30% 被称为测试集。对于测试集而言，首先我们知道它对应的真实目标值，然后可以给学习完成的模型输入测试集中的特征，得到预测目标值。最后，通过对比预测的目标值与真实目标值之间的差异，评估模型的预测性能。
上图就是一个简单的机器学习模型训练流程。接下来，我们针对数据集的特征和目标进行分割，分别得到 70% 的训练集和 30% 的测试集。其中，训练集特征、训练集目标、测试集特征和测试集目标分别定义为：train_x, train_y, test_x, test_y。
target = df[‘medv‘] # 目标值数据
split_num = int(len(features)*0.7) # 得到 70% 位置
train_x = features[:split_num] # 训练集特征
train_y = target[:split_num] # 训练集目标
test_x = features[split_num:] # 测试集特征
test_y = target[split_num:] # 测试集目标
划分完数据集之后，就可以构建并训练模型。同样，这里要用到 LinearRegression() 类。对于该类的参数就不再重复介绍了。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression() # 建立模型
model.fit(train_x, train_y) # 训练模型
model.coef_, model.intercept_ # 输出训练后的模型参数和截距项
上面的单元格中，我们输出了线性回归模型的拟合参数。也就是最终的拟合线性函数为：
其中，x1, x2, x3 分别对应数据集中 LSTAT, RM 和 PTRATIO 列。接下来，向训练好的模型中输入测试集的特征得到预测值。
preds = model.predict(test_x) # 输入测试集特征进行预测
preds # 预测结果
对于回归预测结果，通常会有平均绝对误差、平均绝对百分比误差、均方误差等多个指标进行评价。这里，我们先介绍两个：
平均绝对误差（MAE）就是绝对误差的平均值，它的计算公式如下：
其中，yi 表示真实值，y? i 表示预测值，nn 则表示值的个数。MAE 的值越小，说明预测模型拥有更好的精确度。我们可以尝试使用 Python 实现 MAE 计算函数：
def mae_value(y_true, y_pred):
n = len(y_true)
mae = sum(np.abs(y_true - y_pred))/n
return mae
均方误差（MSE）它表示误差的平方的期望值，它的计算公式如下：
其中，yiyi 表示真实值，y? iy^i 表示预测值，nn 则表示值的个数。MSE 的值越小，说明预测模型拥有更好的精确度。同样，我们可以尝试使用 Python 实现 MSE 计算函数：
def mse_value(y_true, y_pred):
n = len(y_true)
mse = sum(np.square(y_true - y_pred))/n
return mse
?
于是，我们可以计算出上面模型的平均指标，即预测结果的 MSE 和 MAE 值：
mae = mae_value(test_y.values, preds)
mse = mse_value(test_y.values, preds)
print("MAE: ", mae)
print("MSE: ", mse)
?
可以看到，这里模型预测结果的平均绝对误差约为 13.02。如果你计算一下全部目标值的平均值(结果为22 左右)，你会发现 13.02 的平均绝对误差在本次实验中应该说是很大了。这也就说明模型的表现并不好，这是什么原因呢？
这主要是因为我们没有针对数据进行预处理。上面的实验中，我们随机选择了 3 个特征，并没有合理利用数据集提供的其他特征。除此之外，也没有针对异常数据进行剔除以及规范化处理。
当然，关于使用机器学习训练模型过程中涉及到的数据预处理知识，我们会在后续的课程中逐渐学习。掌握好线性回归的原理和实现方法，才是本次实验内容的重点。
本次实验是楼+ 课程的第一节真正意义上的实战内容，我们从线性回归原理入手，学习了最小二乘法的两种求解方法，并针对线性回归算法进行了完整实现，相信会对你有所帮助。回顾本次实验的知识点有：
拓展阅读：
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