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问题描述

一个棋盘有n条横线，m条竖线，上面有k个黑点，问有多少个不包含黑点的矩形。

数据范围：
n和m最大为1000，k最大为10

方法一：动态规划

复杂度n*m*k。

import java.awt.Point;
import java.util.Comparator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
int n, m;
long dp[][];
List<Point> black;

long solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int now = 0;//now表示以i，j这个点为右下角的矩形的个数
            int lastX = 0;
            int lastY = j;
            for (int k = black.size() - 1; k >= -1; k--) {
                //此处哨兵单元设计很巧妙，让k==-1的时候自动启用哨兵单元
                Point p;
                if (k == -1) p = new Point(i, 0);
                else p = black.get(k);
                if (p.y > j) continue;
                if (p.x > i || p.x < lastX) continue;
                now += (i - lastX) * (lastY - p.y);
                lastX = p.x;
                lastY = p.y;
            }
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + now;
        }
    }
    return dp[n][m];
}

Main() {
    Scanner cin = new Scanner(System.in);
    n = cin.nextInt();
    m = cin.nextInt();
    dp = new long[n + 1][m + 1];
    black = new LinkedList<>();
    int k = cin.nextInt();
    while (k-- > 0) {
        int r = cin.nextInt(), c = cin.nextInt();
        black.add(new Point(r, c));
    }
    //对全部点进行排序（按照列从小到大进行排序）
    black.sort(Comparator.comparing(x -> x.y));
    for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++) dp[0][i] = 0;
    long ans = solve();
    System.out.println(ans);
}

public static void main(String[] args) {
    new Main();
}
}

可以通过“缩点”法降低复杂度。

方法二：容斥原理

10个点有1024种情况，判断每种情况是否合理，然后统计个数即可。

复杂度之和k有关，跟n、m无关。

hihocoder234周 计算不包含黑点的矩形个数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/weiyinfu/p/10164492.html