斯特林数应用

标签：证明   卷积   容斥   span   time   lin   直接   函数   mes   

基础定义不再说明。请先学完数学基础I~IV、多项式基础I~II、生成函数、组合基础I~II再来看这篇。

排列到循环

\[n!=\begin{bmatrix}n\\ [1,n]\end{bmatrix}\]
证明：一个排列对应若干个循环。

求一行第一类斯特林数

由上，可以先用分治FFT求下降幂系数，然后可以直接算出答案。

还有\(O(n\log n)\)的做法。

求一行第二类斯特林数

先用容斥原理算出第二类斯特林数通项公式，然后化成卷积形式，用一次FFT即可。

次幂转换

\[x^{\underline{n}}=[0,n](\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i)\times(-1)^i\]
这个式子说明下降幂的系数是有符号第一类斯特林数。
\[x^n=[0,n]\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}\]
\[x^{\overline{n}}=[0,k]\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\]
\[x^{n}=[0,n](\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\overline{i}})\times(-1)^i\]
好有规律是不是。
\[\Large{正降卷升，一中二歧}\]

斯特林反演

把上面找两个未知数系数相同的式子拼起来就行了。
\[\Large{一正二卷，一卷二正}\]
好好记啊！

反转公式

把上面一个式子代到另一个式子里就行了。

斯特林数应用

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原文地址：https://www.cnblogs.com/utopia999/p/10171339.html