标签：style std printf 情况 isp 大于 pen ORC sort
昨晚Good Bye 2018D题没做出来，车翻大了……
官方题解 传送门
初赛知识：一个无向图所有顶点度数之和为偶数。然而这东西还有一个高端的名字：Handshaking lemma
但是这并不是本题的重点，另外一个看上去很高端的东西才是本题的重点：Erd?s–Gallai theorem
对于一个无向图的度数序列$d$，先从大到小排序，即满足$d_1 \geq d_2 \geq d_3 \geq \dots \geq d_n$，
那么对于$\forall k \in [1, n]$，均满足
$$\sum_{i = 1}^{k}d_i \leq k(k - 1) + \sum_{i = k + 1}^{n}min(k, d_i)$$
意思就是先选出度数前$k$大的点然后让它们生成一张完全图，然后剩下的点无论怎么连一定是一张合法的无向图。
我们注意到在这题中，如果$x，y$是两个合法的答案（不妨设$x<y$），那么如果$z$满足$z \in (x, y)$并且$x \mod 2 == z \mod 2$，$z$也是一个合法的答案。也就是说，我们只要做出这个答案的区间$[L, R]$，然后检验每一个$i \in [L, R]$是否满足那个初赛知识就好了。
考虑如何找这个区间。
首先把度数序列从大到小排个序然后弄个前缀和，我们去扫描每一个位置，把当前扫到的位置$i$作为Erd?s–Gallai theorem中的$k$，因为后面都是有序序列，所以那个$min$只要二分找到一个分界点$j$使左边都大于$i$，右边都小于等于$i$，结合前缀和就可以算出式子两边的值。
假设左边的和为$a$，右边的和为$b$，考虑$n + 1$个点可以放在哪个位置（假设第$n + 1$个点的度数为$x$），有以下几种情况：
1、$a > b$，如果$a > b + i$，那么直接无解。
2、观察到当$n + 1$个点放在$3$的时候，有$b + x \geq a$，那么$x \geq a - b$。
3、当$n + 1$个点放在$1$的时候，第$i$个位置实际上变成了第$i + 1$个位置，但是这并不影响前缀和的计算，这时候满足$a - d_i + x \leq b + i$，那么$x \leq b + i - a + d_i$。
时间复杂度$O(nlogn)$。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 5e5 + 5; int n; ll a[N], sum[N]; vector <int> ans; bool cmp(ll x, ll y) { return x > y; } template <typename T> inline void read(T &X) { X = 0; char ch = 0; T op = 1; for (; ch > ‘9‘|| ch < ‘0‘; ch = getchar()) if (ch == ‘-‘) op = -1; for (; ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘; ch = getchar()) X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48; X *= op; } template <typename T> inline void chkMin(T &x, T y) { if (y < x) x = y; } template <typename T> inline void chkMax(T &x, T y) { if (y > x) x = y; } int main() { read(n); for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]); sort(a + 1, a + 1 + n, cmp); for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i]; ll ln = 0, rn = n; for (int i = 1; i <= n; i++) { int j = lower_bound(a + 1 + i, a + 1 + n, i, cmp) - a; ll lsum = sum[i], rsum = 1LL * (j - i - 1) * i + sum[n] - sum[j - 1] + 1LL * i * (i - 1); if (lsum > rsum) { if (lsum - rsum > i) return puts("-1"), 0; chkMax(ln, lsum - rsum); } chkMin(rn, a[i] + rsum + i - lsum); } for (int i = ln; i <= rn; i++) if (!((i - sum[n]) & 1)) ans.push_back(i); if (ans.empty()) puts("-1"); else { int siz = ans.size(); for (int i = 0; i < siz; i++) printf("%d%c", ans[i], i == siz - 1 ? ‘\n‘ : ‘ ‘); } return 0; }
CF 1091E New Year and the Factorisation Collaboration
标签：style std printf 情况 isp 大于 pen ORC sort
原文地址：https://www.cnblogs.com/CzxingcHen/p/10201761.html
