尼姆博弈

标签：xor   大于   不可   完成   ...   策略   二进制   自己   个人   

　　问题一：有n堆物品各若干，两人轮流从某一对取任意多物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者胜利

　　用（a,b,c）表示局势，若a xor b xor c==0,那么（a,b,c）为奇异局势，面对奇异局势必败。若（a,b,c)为非奇异局势，则只要将c变为a xor b即变成奇异局势

　　若a1 xor a2 xor a3 ...  == 0 ,则称（a1,a2,a3......)为T态（利他态），反之称S态（利己态）

　　定理1：S->T，只要将某数 - x 即可

　　证明：设 c = a1 xor a2 xor a3 ... xor an > 0，且c的第最高位（二进制）1为p位，那么必存在at，其第p位也是1，令x=at xor c < at

　　那么把原式的at 换成 x ，原式 = a1 xor a2 xor a3 ... x xor ... an = a1 xor x2 ... xor an xor c = 0; S->T转换完成 

　　定理2：T->S,任何操作

　　证明：反证法：若 c = a1 xor a2 xor a3 ... xor an = 0;

　　　　　　　　    且 c‘ = a1 xor a2 xor a3... at‘ xor ... an = 0;

　　　　　　　　    则 c xor c‘ = 0； 但是c xor c‘ = at xor at‘ !=0 矛盾

　　定理3：S必赢

　　证明：先手S->T(定理1)，后手必有T->S(定理2)，所以先手必将局势控制在S态

　　定理4：T必败

　　证明：定理（3）

　　问题二：若某堆数量为1，则称孤单堆，若大于1，则为充裕堆。每个人 轮流在一堆中取若干根，最后取完为负

　　定理：显然不存在T1,充裕堆不可能一次消去两个

　　定理5：S0必败，T0必胜

　　证明：S0即是奇数个孤单堆，每次只能取一根，每次第奇数根都由自己取，第偶数根都由对方取，所以必败

　　定理6：S1态必胜

　　证明：先手S1->S0,后手必败(定理5)

　　定理7：S2≠>T0

　　证明：充裕堆不可以一次消去两个

　　定理8：S2->T2

　　证明：S->T(定理1)，不可能转换成T0(定理7)，所以转换成T2态

　　定理9：只有T2->S2/S1

　　证明：T->S(定理2)，不可能是S0

　　定理10：S2 必胜

　　证明：先手S2->T2(定理8)，必有T2->S2/S1(定理9)，所以先手可以将状态控制在S2，或者变成S1(必胜态)

　　定理11：T2必输

　　证明：定理10

　　总结：第一题（最后取则胜）策略，先手将S1变为T0，那么每次轮到先手都是S0（奇数孤单堆），则必取最后一堆：

　　　　　　S2->T2->S2->T2.......T2->S1-------------->T0->S0->T0->S0->T0....->S0->T0(全0)

　　　　　第二天（最后取则败）策略，先手将S1变为S0，那么每次轮到先手都是T0（偶数孤单堆），则对方必取最后一堆

　　　　　　S2->T2->S2->T2.......T2->S1-------------->S0->T0->S0->T0....->S0->T0(全0)　

尼姆博弈

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