【欧几里德的游戏】

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这道题好神仙啊

我们推一下\(SG\)函数

显然答案就是\(SG(n,m)\)，\(SG(n,m)=0\)则先手败，否则先手胜

首先几个非常明显的地方\(SG(n,0)=0\)，这是显然的，上来就面对了必败状态

之后看看\(SG\)是如何转移的

\[SG(n,m)=mex\{SG(n-m,m,SG(n-2*m,m)...SG(m,n\%m))\}\]

\(mex\)是基于集合的操作，\(mex(S)=\{min(x)\in N|x\notin S\}\)，也就是不属于集合\(S\)的最小自然数

非常显然的是

\[SG(n-m,m)=mex\{SG(n-2*m,m),SG(n-3*m,m)...SG(m,n\%m)\}\]

之后会惊奇的发现好像我们知道了\(SG(m,n\%m)\)就可以推所有了

分类讨论一波

如果\(SG(m,n\%m)=1\)，那么由于\(SG(m,n\%m+m)=mex\{SG(m,n\%m)\}\)，所以这个时候\(SG(m,n\%m+m)=0\)，于是\(SG(n,m)=1\)

如果\(SG(m,n\%m)=0\)，那么\(SG(m,n\%m+m)=1\)，所以非常显然\(SG(n,m)=1\)

但是这一切的前提就是\(SG(m,n\%m+m)\)存在，如果\(m<=2*n\)，那么\(SG(n,m)\)就直接等于\(SG(m,n\%m)\)了，也就是\(SG(n,m)=SG(m,n\%m)\bigoplus1\)

于是一个类似于\(gcd\)的迭代就好了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline LL read()
{
    char c=getchar();
    int x=0;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘) c=getchar();
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x;
}
int T;
LL n,m;
inline int SG(LL n,LL m)
{
    if(!m) return 0;
    if(n>=m*2) return 1;
    return 1^SG(m,n%m);
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read();
        if(SG(max(n,m),min(n,m))) puts("Stan wins");
            else puts("Ollie wins");
    }
    return 0;
}

【欧几里德的游戏】

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原文地址：https://www.cnblogs.com/asuldb/p/10205759.html