P5169 xtq的异或和（FWT+线性基）

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传送门

我咋感觉我学啥都是白学……

首先可以参考一下这一题，从中我们可以知道只要知道两点间任意一条路径以及整个图里所有环的线性基，就可以得知这两个点之间的所有路径的异或和

然而我好像并不会求线性基能张成的元素……话说原来这个在线性基里爆搜就可以了么……

于是我们可以随便选一个点为根，\(dfs\)一遍跑出个生成树，\(dis[u]\)表示点\(u\)到根节点的路径上的异或和，那么\(dis[u]\bigoplus dis[v]\)就是\(u,v\)之间的一条路径的权值，设\(x\)为一个线性基能张成的元素，那么\(dis[u]\bigoplus dis[v]\bigoplus x\)的答案就要加一

设\(q\)为线性基大小，这样的话复杂度就是\(O(n^2q)\)，即枚举点对再枚举线性基能张成的元素

设数组\(A,B\)，\(A[i]=1\)当且仅当\(i\)能被线性基里的元素张成否则\(A[i]=0\)，\(B[i]\)为到根节点的路径的异或和为\(i\)的点的个数，于是发现答案就是\(A\times B\times B\)，其中乘法表示异或卷积，用\(FWT\)优化即可

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=3e5+5,P=998244353,inv=499122177;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
struct eg{int v,nx,w;}e[N<<1];int head[N],tot;
inline void add_edge(R int u,R int v,R int w){e[++tot]={v,head[u],w},head[u]=tot;}
int p[105],dis[N],vis[N],is[N],a[N];
int mx,lim,n,m,q,u,v,w,c;
void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    go(u)if(!vis[v])dis[v]=dis[u]^e[i].w,dfs(v);
    else is[dis[v]^dis[u]^e[i].w]=1;
}
void ins(R int x){
    fd(i,mx-1,0)if(x&(1<<i)){
        if(p[i])x^=p[i];
        else return (void)(p[i]=x);
    }
}
void find(int i,int x){
    if(i<0)return (void)(is[x]=1);
    find(i-1,x);if(p[i])find(i-1,x^p[i]);
}
void FWT(int *A,int ty){
    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
            for(R int k=0;k<mid;++k){
                int x=A[j+k],y=A[j+k+mid];
                A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
                if(ty==-1)A[j+k]=mul(A[j+k],inv),A[j+k+mid]=mul(A[j+k+mid],inv);
            }
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),m=read(),q=read();
    while(m--)u=read(),v=read(),w=read(),add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w),cmax(lim,w);
    while(lim)++mx,lim>>=1;
    lim=(1<<mx);dfs(1);
    fp(i,0,lim-1)if(is[i])ins(i);
    find(mx-1,0);
    fp(i,1,n)++a[dis[i]];
    FWT(is,1),FWT(a,1);fp(i,0,lim-1)a[i]=mul(mul(a[i],a[i]),is[i]);
    FWT(a,-1);
    while(q--)c=read(),print(a[c]);
    return Ot(),0;
}

P5169 xtq的异或和（FWT+线性基）

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原文地址：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10206365.html