龟速乘

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 龟速乘的根据&实现——慢工出细活

比起计算机自带的乘法，龟速乘的的运行速度还要慢上一些。

但是，它可以有效地保证你的long long不会boom的一声炸掉，然后送给你一个神奇的数字。

long long quick_mul(long long x,long long y,long long mod) 
{
    long long ans=0;
    while(y!=0){
        if(y&1==1)ans+=x,ans%=mod;
        x=x+x,x%=mod;
        y>>=1; 
    }
    return ans;
}

long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=quick_mul(sum,x,mod),sum%=mod;
             x=quick_mul(x,x,mod),x%=mod;
              y=y>>1;
    }
    return sum;
}

相信你一眼就能看出来，这两个东西长的不是一般的像。

如果再仔细观察一下就会发现，快速幂里的x是指数级增长，而龟速乘变成了翻倍，仅此而已。

龟速乘总结——快速幂的补充

实际上，龟速乘的确慢，甚至比直接用开始提到的循环乘法还要慢（因为龟速乘相当于一个自行取模的乘号），然而慢工出细活，正是它的慢最终为我们解决了数据过大时产生的问题。

归根结底，龟速乘的出发点就是为了解决弥补快速幂的BUG，因而其思想与快速幂也十分接近。用一点点时间换来数据范围的扩大，想来是个不亏的交易。

当然，平时不担心爆long long的情况下，就没必要把龟速乘加上了~

龟速乘

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